无棱二面角的求解策略

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1、无棱二面角的求解策略无棱二面角的求解策略◊广东杨仁宽（特级教师）题根在新课程人教A版数学选修2-1的第128页中，有这样的习题：则SE是所求二而角的棱.

2、±AD〃BC,BC二2AD,得EA二AB二SA,如图1,在四棱锥S—ABCD中，底而ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC,侧棱SA丄底面ABCD,且SA=AB=BC=1,SAD二12•求平面SCDC与平面SAB所成二图1木文拟对此题，从多角度进行思考，探索这类无棱二面角求解的主要策略.1问题的來源在原立体几何教材中，冇这样一道复习题：棱锥的底谢是正方形，冇相邻的两个侧面都垂直于底面，另外两个侧S面-与底面都成4

3、50角，C最长的侧棱长为15cm,求此棱锥的高.依题意对作出图2,ADE则易知SA丄面ABCE,图2SAmB二BC,ABCE是正方形.取AE的中点D,求截而SCD与侧而SAB所成二面角的正切值，即为上述课本题•这类求无棱二面角的平面角的某一种三角函数值的题型，在丿力年的高考卷屮，屡见不鲜.2问题的解法由于图1中仅给出了平面SAB与平而SCD的一个公共点S,由平而的基本性质可知：这两个平谢冇II仅有一条过公共点S的公共直线，此直线即为所求二囱角的棱，因而求解的关键是找出过公共点S的唯一公共直线.根据上述“來源”可知，AD是以BC为直角边的直角三角形的中位线，丁•是就

4、有下列解法1如图3,延长BA、CD交于点E,图3从而SE丄SB,由SA丄平而ABC可知，平而SEB丄平而SBC相交于EB,由BC丄EB,得BC丄平面SEB,SB是SC在平面SEB上的射影，SC丄SE,・・・ZBSC是所求二面角的平面角.而SBSA2BA22,BC=1,SB丄BC,/.tgBSCBCSB2为所求.若平移平血SCD,也可自然地找出二血角的棱，并对简捷地求解：解法2如图4,设E、F分别是棱SB、BC的中点,连AE、AF,则有SC〃EF,CD〃AF,SAFEF二F,从而面SCD〃面AFE,F平而SAB与平而AEF和平面SCD所成的角相等，ADAE是二面角B-

5、EA-F的棱.图4故只要求二而角B-EA-F的正切值即可，以下过程从略.若平移平面SBA,类似地，冇下列解法3如图5,设点G、F分别是棱SC、BC的中点，由SG面面平行的判定定理可知，B平面SAB〃平面DFG,所求二面角等于二面角F-DG-CAD的平面角，以下从略.图5我们知道，如果在平面内面积为S的多边形在平血上的射影的血积是S/,与成锐角，则有SeosS/・根据这一结论，乂有下列的简捷解法：解法4设所求二而角的平而角为，由SA丄面ABC,得SA丄AB,而SA二AB二1,RtSAB的面积S/12SAAB12,可求得ZXSCD题根研究I••••••••••••I的面

6、积S=62,由于ASAB是ASCD在面SAB±的1射影，从而由S•cosS/,得cos63,从而tg22为所求.若借助平而的法向量，乂可得到卜列解法：解法5以点A为原点，分别以射线AD、AB、AS为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则有B(0,1,0),C(1,1,0),D(0.5,0,0),S(0,0,1).设面SCD的法向量是a=(x,y,1),由a•=0,a•=0,得X2,y1,即a二(2,1,1)•而AD(0.5,0,0)是平面ASB的法向量,由cosa

7、a

8、

9、AD

10、3,得sin3,从而tg2为所求.3求无棱二而角的平面角的转化策略本文的题根

11、，属于“无棱二而角”问题——在已知几何体中，没冇给出二面角的两个半平面的交线而求二面角的平面角的某一种三角函数值，求解的基本策略是“转化”，主要的转化途径有以下两条.一是将“无棱”向“有棱”转化，关键是止确地找出二而角的棱.二是借助面积射影公式或借助向量作为工具求解，能有效地避开找棱.链接练习1.（2011年珠海模拟题）如图6,四边形ABCD是边长为DC1的正方形，MDAB平而ABC,NB平而ABCD,图6JIMDNB1.（1）以向量AB方向为侧视方向，侧视图是什么形状？（2）求证：CN//平而AMD；（3）求而AMN与而XBC所成二而角的余弦值.现将这些常用的转化

12、策略，概括如下.策略1延展平面找出棱一一根据平面的可延展性以及题设条件的特点，将几何体中的和关平面延展，以利于找出所求二而角的棱，实现“无棱”二而角向“有棱”二而角的转化•如本例中的解法1・策略2平移平面找出棱一一将所求二而角的一个或两个半平面作平移，以找出二而角的棱，再由“一个平而与一组平行平而所成的二而角相等”，实现“无棱”向“有棱”的转化•如本例中的解法2.策略3补个图形找出棱——利用“基本图”（正方体、长方体、台体）补体，实现“无棱”向“有棱”的转化•这是一种创造性的解法，要因题而异、补图得体，使所补Z图比较恰当.对于本题，也可以补一个图:过B、C、D分