无棱二面角的求法

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1、无棱二面角的求法　　所给图形中，没有出现棱的二面角称为无棱二面角．求其大小的方法，归纳起来有以下五种．　　1．两点法 即根据两点确定一条直线，找到所求二面角的棱，然后作出其平面角解之．　　例1 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，求面与面所成二面角的大小．　　分析 因为与共面且不平行，故延长后必相交，设交点为，则就是所求二面角的棱，于是作出其平面角便可求解．　　略解 延长、交于，连，作于，连，则就是所求二面角的平面角．　　∵ ，　　∴ ．　　2．平行线法 其理论依据是直线与平在平行的性质．具体作法是：在二面角的一个

2、面内作（找）一直线与另一个面平行，则过二面角两面的公共点且与该直线平行的直线就是所求二面角的棱．　　例2 过边长为的等边△顶点、，分别引△所在平面的垂线、，且，求面与面所成角的大小．　　解 取的中点，作交于，则，．又∵，　　∴，∴是平行四边形，　　∴，∴面．　　过作直线，则为所求二面角的棱，且．　　∴ ，即，　　又面，∴，　　∴就是所求二面角的平面角．　　显然．　　（此题还可用两点法求解，读者自己完成．）　　3．垂面法 其理论依据是：如果两相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线必与第三个平面垂直．据此，如果图形

3、中能作出一个平面与无棱二面角的两个面都垂直，那么该平面与二面角两个面的交线所成角就是该二面角的平面角．　　在例1中，易证对角面与面及面都垂直，故就是所求二面角的平面角．显然　　，或．　　例2 也可用垂面法求解，只须证面与面及面都垂直．（留给读者完成）　　4．平移法 其理论依据是：一个平面与两个平行平面相交，它们所成的二面角相等或互补．具体作法，将无棱二面角一个面平移到适当位置，可得到一个与所求二面角相等或互补的有棱二面角，然后作出该二面角的平面角便可求解．　　在例2中，如果作交于，作交于，则面面，这时，二面角等于所

4、求二面角．故只要求出二面角即达目的．（具体求解留给读者完成）　　例3 在棱长为的正方体中，是的中点，在上，且，求面与面所成二面角的大小．　　解 过作交于，再过作交于，则面面，于是二面角与所求二面角相等．作于，连，则，就是二面角的平面角．　　∵，∴，∴，　　，　　∴，　　∴，即为所求二面角的大小．　　5．面积射影法 其理论依据是定理：如果平面图形的面积为，它在平面内的射影的面积为，并且所在平面与平面所成角为，那么．　　在例1中，显然△是△在底面内的射影，故可用面积射影法求解，设所求二面角为，则，∴．　　例2 也可用面

5、积射影法求解．（读者自己完成）．　　在例3中，若取的中点，连，则△是△在底面内的射影，如图，，　　∵，，，　　∴　　∴，　　∴．　　设所求二面角为，则　　，　　．