关于无棱”二面角问题的探讨

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1、关于“无棱”二面角问题的探讨(尹伟云贵州省铜仁市荣昌中学554111)发表于《高中数学教与学》2012年第7期二面角问题是历年高考考查的热点，也是难点．求二面角的基本步骤是：作，证，算．即先作出一个平面角，再证明这个角就是所求二面角的平面角，最后将这个平面角放在一个三角形中求解．其中根据二面角的含义作出二面角的平面角是一个关键，但有时题目中并没给出二面角的棱，直接作角便遇到了困难．本文就这类无棱二面角问题做一些探讨．一、由“无棱”向“有棱”转化将二面角的两个面延展，通过添线、补体的方式寻找二面角两半平面的公共点，由公理和公理确定两个

2、面的交线；或平移面，根据同位二面角相等得到新二面角的棱，从而将“无棱”二面角问题转化为“有棱”二面角问题．．补体法例如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点，求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．解析：延长,，设两延长线交于点，连结，则为平面与平面的交线，显然，，取的中点，连结，，则，，从而为平面与平面所成二面角的平面角．由平面知，令正方体的棱长为，在Ｒt△中，，，则，从而．点评：（1）两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同位（即同向）二面角相等，即将二面角的一个或两个面平移至适当位置，使其相交，组成一个易求的二面角．（2）将

3、“无棱”问题转化为“有棱”问题，实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角问题．．平移法例如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的正切值．解析：由平面平面知，平面与平面所成的锐二面角大小等于二面角的大小．过点作于，因为侧面底面，所以平面，则，于是，则为的中点．过作于，作于，连结，则，由三垂线定理有，则为二面角的平面角．由，得．点评：寻求面面平行是关键，而面面平行常由线线平行得到．二、避开找棱问题．垂面法作出二面角两半平面的垂面，或证明平面是、的公垂面，可由垂面与二面角两半平面、交线

4、的夹角求得二面角的大小．例如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且平面，，求平面与平面所成的锐二面角大小．解析：因为平面，平面，所以，又，则平面，由于平面，所以平面平面．同理有平面，因平面，所以平面平面，即平面为平面与平面的公垂面，而与分别为交线，则为平面与平面所成锐二面角的平面角．由平面有，在Ｒt△中，，则，从而平面与平面所成的锐二面角大小为．点评：证面面垂直是关键．．垂线法从空间一点向二面角的两个面分别引垂线、，由这两条垂线的夹角推断二面角的大小．例如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点，求平面与平面夹角（锐

5、角）的大小．解析：由平面，得，，又，所以平面．在等腰Ｒt△中，．又，为中点，则．连结、，易证△△，则，因为点为中点，所以，于是有平面，即、分别是平面、平面的垂线，所以等于平面与平面所成的锐二面角的大小．易知，则△为等腰直角三角形，从而，即平面与平面夹角的大小为．点评：寻找两半平面的垂线是关键．．面积射影法设锐二面角的大小为，在一个半平面内有一个面积为的封闭图形，该图形在另一个半平面内的射影的面积为，则．此性质称为面积射影定理．例如图，是圆的直径，点圆上，平面，，且，，，，求平面与平面所成的锐二面角大小．解析：因为是圆的直径，所以△为

6、直角三角形，,，所以．因平面，，则，平面，则．在Ｒt△中，．在Ｒt△中，．过点作于点，易证四边形为矩形，从而，，则，在△中，由余弦定理有，则，从而．设平面与平面所成的锐二面角大小为，则．所以，即平面与平面所成的锐二面角大小为．点评：常找（或作）出一个半平面内的三角形（或四边形）在另一个半平面内的射影，再利用面积射影定理求解．关键是找射影及求面积．．向量坐标法借助向量工具，将二面角问题转化为两半平面法向量的夹角问题．理论依据：如图，在二面角内任取一点，过作于点，作于点，则，．设与确定平面，且，连结、，则，从而，且，知为二面角的平面角，

7、由知与互补．设、分别为、的法向量，则夹角或其补角是二面角的平面角．显然，求的大小并不借助于棱，所以不需考虑棱的位置．例如图，点是边长为的菱形所在平面外一点，点为中点，平面，且，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．解析：如图，以为原点，、所在直线方向分别为、轴，在平面内，过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有点，，，得,．设是平面的一个法向量，则由，且，得，从而．令，得，，即．显然，是平面的一个法向量，则,即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．点评：（1）找两半平面的法向量是关键．（2）常根据原几何体中二面角两半平面的张开程度

8、，或者两法向量在坐标系中的大致指向来确定所求二面角与两半平面法向量夹角的关系．小结：综合本文可知，求解无棱二面角问题时，可按如下步骤进行：先通过补形或平移面的方式寻找二面角的棱，再利用二面角的定义或三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平