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《陕西省城固县第一中学关于“无棱”二面角问题的探讨.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、关于“无棱”二面角问题的探讨二血角问题是历年高考考查的热点，也是难点.求二面角的基本步骤是:作,证，算.即先作出一个平面角，再证明这个角就是所求二面角的平面角，最后将这个平面角放在一个三角形屮计算求解.其屮根据二面角的含义作出二面角的平面角是一个关键，但有时题目屮并没有给出二面角的棱，直接作角便遇到了因难.木文就这类无棱二面角问题做一些探讨.一.由“无棱”向“有棱”转化将二面角的两个面延展，通过添线、补体的方式寻找二面角两半平面的公共点，由公理1和公理2确定两个面的交线；或平移面，根据同位二面角相等得到新二面角的棱，从而将“无棱”二面角问题转化为“有棱”二面角问题.1.补体法例1如图1
2、,在正方体ABCD-A^C^中，点£、F分别是棱AB.CQ的中点,G求平l&l'ADD.A与平面DEB、F所成的二面角（锐角）的余弦值.解析：延长,B.F,设两延长线交于点G,连结DG,则DG为平WADD.A,与平面DEB、F的交线，显然GF=B}F=DF,D}G=D}D,取DG的屮点连结D、H,FH,则D、H丄DG,FH丄DG,从而ZD、HF为平面ADD,A,与平面DEB、F所成二血角的平瓯角.由Df丄平面知D/丄,令正方体的棱长为1,在RtV242D、H=；DD=〒,D、F丄则tanZD,HF=-^=-^=-^D.HV
3、V2~T从而cosZDHF=76点评：（i）两个平行平面与第
4、三个平面相交,所成的两个同位（即同向）二面角相等,即将二面角的一个或两个面平移至适当位置，使其相交，组成一个易求的二面角.（2）将“无棱”问题转化为“有棱”问题，实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角问题.2・平移法例2如图2,在三梭柱ABC-A^C.屮，所有棱长都为2,侧面A.AC丄底jAl'ABC,侧棱&勺与底hiABC所成的角为60°,求平ihiA^C与平Lfil'ABC所成的锐二面角的正切图2值.解析：由平面ABC〃平面知，平］hiABC与平面A^C所成的锐二面角大小等于二面角G-人耳-C的大小.过点C作CO丄AG于O,因为侧面A}AC丄底面ABC,所以CO丄平面AjBjC
5、,,则ZCC,4=60°,于是GO=CC「cos6(T=2x
6、=l,则。为AG的中点.过G作GM丄AQ于M,作ON丄£耳于N,连结CN,则ONHCM,由三垂线定理有£5丄CN,则ZONC为二面角G—C的平面角.由ON=」C
7、M丄旦AB、=旦,得伽ZONC=—=ccL'sin60.2.2222ONON点评：寻求面面平行是关键，而面面平行常由线线平行得到.二、避开找棱问题常从以下四个方血入手：1.垂面法作出二面角a-l-0两半平面的垂面八或证明平面了是Q、0的公垂面，可由垂面卩与二面角两半平面Q、0交线的夹角求得二血角的大小.A图3B例3如图3,在四棱锥S-ABCD屮，底面ABCD是边
8、长为1的正方形，且SD丄平tfil*ABCD,SA=2,求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角大小.解析：因为SD丄平IfuABCD,4Du平IfiMBCQ,所以SD丄DC,又DC丄AD,则DC丄平SAD,由于DCu平面SDC,所以平面SDC丄平面S4D.同理有BC丄平BiSDC,因BCu平面SBC,所以平WSBC丄平面SDC,即平面SDC为平面SAD与平面SBC的公垂面，而SD与SC分别为交线，则ZCSD为平面SAD与平面SBC所成锐二面角的平面角.由SD丄平面ABCD有SD丄AD,在RtASAD屮，SD=^SA2-AD2=722-12=V3,则tanZCSD=—SD1R亍丁’从而平
9、面与平面赵所成的锐二面角大小为•点评：证面面垂氏是关键.2・垂线法从空间一点P向二面角a-l-0的两个面分别引垂线。、b,由这两条垂线的夹角推断二血角的大小.例4如图4,在四棱锥P-ABCD^f底面ABCD是矩形，P4丄平UuABCD,PA=BA=2,BC=2迈,E、F分别是AD.PC的屮点，求平血BEF与平血PBA夹角（锐P角）的大小.解析：因为P4丄平面ABCD,BCu平面ABCD,BAu平面ABCD,所以PA丄BC,PA丄BA,又BC丄ABfBA^PA=Af所以BC丄平面PB4・?ERtAPBA屮，PB=V2P/l=V2x2=2V2.又BC=2迈，F为PC中点,则PC丄BF・连结
10、PE、CE,易证△PAE竺/CDE,则PE=CE,因为点F为PC屮点，所以PC丄EF,又BF"EF=F,则PC丄平面ABE,即PC、BC分别是平面BEF、平LfilPBA的垂线，所以ZPCB等于平血BEF与平
11、A
12、"PBA所成的锐二面角的大小.在等腰RtAPBC屮，ZPCB=45°,即平面BEF与平面PBA夹角的大小为45"・点评：寻找两半平面的垂线是关键.3.面积射影法依据：设锐二血角a-l-f3的大小为0,在一个半平面Q内有一个面积为S的
