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1、关于“无棱”二面角问题的探讨（尹伟云贵州省铜仁市荣昌中学554111）发表于《高中数学教与学》2012年第7期二面角问题是历年高考考查的热点，也是难点.求二面角的基本步骤是：作，证，算.即先作出一个平而角，再证明这个角就是所求二而角的平而角，最后将这个平而角放在一•个三角形中求解.其中根据二面角的含义作出二面角的平而角是一个关键，但有时题目中并没给出二面角的棱，直接作角便遇到了因难.本文就这类无棱二面角问题做一些探讨.一、由“无棱”向“有棱”转化将二而角的两个而延展，通过添线、补体的方式寻找二而角
2、两半平而的公共点，山公理1和公理3确定两个面的交线；或平移面，根据同位二而角相等得到新二面角的棱，从而将“无棱”二面角问题转化为“有棱”二面角问题.1.补体法例1如图1,在止方体ABCD-A^QD,中，点E、F分别是棱AB.的中点,G求平面ADDXA}与平面DEB、F所成的二面角（锐角）的余弦值.「71解析：延长A}D},B.F,设两延长线交于点G,连结DG,则DG为平®ADD}A}与平面DEB.F的交线，显然GF=BF=DF,DXG=AD,=DXD，取DG的中点凶〔连结D、H,FH,则D}H丄
3、DG,FH丄DG,从fuZD}HF为平面ADD/,与平面DEB、F所成二而角的平而角.山Df丄平而ADD}A}D,F丄,令正方体的棱长为1,在RtAFD.H中，D、H返如=並，DXF212DFI则“S叫乔p从而cosZD]HF=V63点评：（1）两个平行平而与第三个平而相交，所成的两个同位（即同向）二而角相等,即将二面角的一个或两个面平移至适当位置，使其相交，纽成一个易求的二面角.（2）将“无棱”问题转化为“有棱”问题，实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角问题.2・平移法例2如图2,在三棱柱A
4、BC—AQG中，所有棱长都为2,侧而A}AC丄底而ABC,B图2侧棱AA与底面ABC所成的角为6(/,求平面A}B}C与平面ABC所成的锐二面角的甘切值.解析：山平面4BC//平面Ade】知，平面ABC与平面A.B.C所成的锐二面角大小等于二而角G--C的大小.过点C作(70丄£6于0,因为侧面A.AC丄底而ABC,所以C0丄平面A1B1C1,则ZCCjA,=60°,于是GO=CG・cos60=1,则O为AG的中点.过C］作C
5、M丄4&于M,作ON丄£妨于N,连结CN,则ON//CM,山三垂线定理
6、有AQ丄CN,则ZONC为二面角G—A&i—C的平面”“1厂”173AnV3小/“厂COCC.-sin60°,角.山ON=—CiM=—•—A.B,=—,丫寸tun乙ONC===2.2122112ONON点评：寻求面面平行是关键，血面面平行常山线线平行得到.二、避开找棱问题I.垂面法作出二面角G-/-0两半平面的垂面了，或证明平面了是Q、0的公垂面，可山垂面了与二而角两半平而0、0交线的夹角求得二而角的大小.例3如图3,在四棱锥5-ABCD中，底面ABCD是边长为1的止方形，且SD丄平fflABCD
7、,£4=2,求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角大小.解析：因为SD丄平而ABCD,ADcz平而ABCD,所以SD丄DC,又DC丄AD,则DC丄平而SAD,山于DCu平而SDC,所以平面SDC丄平面SAD.同理有丄平面SDC,因BCu平面SBC,所以平面SBC丄'平ffiSDC,即平面SDC为平面SAD与平面SBC的公垂ffi,fuSD与SC分别为交线，则ZCSD为平而SAD与平而SBC所成锐二而角的平而角.山SD丄平而ABCD有SD丄心在RZD中，Sd3ad7则阮CSD遵斗,从而平面SAD与
8、平面SBC所成的锐二面角大小为30°.点评：证而而乖直是关键.2・垂线法从空间一点P向二面角仅-/-0的两个面分别引垂线a、b,山这两条垂线的夹角推断二面角的大小.例4如图4,在四棱锥P—ABCD中，底而ABCD是矩形，P4丄平^ABCD,PA=DBA=2,BC=2^2,E、F分别是AD.PC的中点，求平面BEF与平面PB4夹角（锐角）的大小.解析：由PA丄平面ABCD,得PA丄BC,PA丄84,又BC丄AB,所以BC丄平面PBA.在等腰RtAPBA中，PB=42PA=2^2.又BC=2近,F为P
9、C中点,则PC丄BF・连结PE、CE,易证ACOE,则PE=CE,IS为点F为PC中点，所以PC丄EF,于是有PC丄平面BEF,即PC、BC分别是平面BEF、平面的垂线,所以ZPCB等于平面BEF与平面PBA所成的锐二面角的大小.易知BC丄PB,则厶P3C为等腰I［角三角形，从ifuZPCB=45°,即平面BEF与平面PBA夹角的大小为45°.点评：寻找两半平面的垂线是关键.3.面积射影法设锐二面角的大小为＜9，在一个半平面Q内有一个面积为S的封闭图形，该图形在另一个半平而0内的射
