无棱二面角的求解方法

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1、http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网无棱二面角的求解方法徐敏求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。但有些题目中没有给出两个面的交线，难以直接作出二面角的平面角。本文通过一例，就这种情况给出若干种求解方法，供参考。题目：如图1，正三棱柱的各棱长都是1，M是棱的中点，求截面与底面ABC所成锐角二面角的大小。图1一.平移法我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交

2、，构成一个易求解的二面角。解法1：如图2，取的中点D，AB的中点E，则平面DEC中的DE//，则面DEC，面DEC，从而面面DEC。这样，面与面ABC所成的锐二面角等于面DEC与面ABC所成的锐二面角，即二面角。图2由题设条件的正三棱柱，易知，，则是二面角的平面角。在等腰中，。所以面与面ABC所成的锐二面角为。二.补形法第4页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网将二面角的两个面延展，确定

3、出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。解法2：延长与AC，相交于点P，连结BP，则所求的二面角是（图3）图3在中，由，且，可得。再由正，可得AC=BC=PC，则。又。所以是二面角的平面角。由等腰，知。三.射影法设二面角的大小为，面内有一个面积为S的封闭图形，该图形在面内的射影面积为S'，则。利用这个结论，只要计算S和S'的值，就可求出二面角的大小。这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程，使解法直截了当，方便快捷。解法3：由正三棱柱的条件，可知是在底面内的射影。取的中点N，连结MN，易求得则等腰的面积，等边的面积。设所求

4、二面角的大小为，由，得。第4页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网四.向量法设二面角的大小为，分别是平面和平面的法向量，则角与角<>相等或互补。所以。特别地，当为锐角时，。解法4：以B为原点，与AC平行的直线为x轴，与AC垂直且相交的直线为y轴，为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，知B（0，0，0），M，。从而。图4设平面的法向量是，则由，有取特值，可解得。所以。显然可取平面ABC的

5、一个法向量为。设平面与平面所成锐角二面角为，由，得所求二面角的大小为。第4页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网第4页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666