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《求解无棱二面角大小的三个对策.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、FA.MA2A解法I利用空间几何向量求解庞=丽+押,n-AE=0由＜n-AF=0xTB+y^D+z顽)(乔+扌丸z——2AB+AD+—AA.31=0,把相关量代入化简得.=0x^-z=032x+y+—^=03求解无棱二面角大小的三个对策廿肃省高台具第一屮学韩天禧求解无棱二面角大小是高考的热点也是难点，可思维活、方法多，现从一例高考题出作系统疏理归纳.题目（2011高考全国卷第16题）已知面£F分别在正方形ABCD-^qi^的棱BB“CG上，且BlE=2EB,CF=2FQ9则BlAEF与面ABC所成的二面角的正切值等于•对策一利用空间向量求解22_AF=AC+—A
2、Al=AB+AD+—AA},设平面4EF的法向量为n=xAB+yAD+zA,x=y=-l得7=询-丽两，平血ABC的法向量为禹，不难求出（询-亦两『sin^A4J,n^=7l-cos2^=-^,齐•两=（砸一乔+函）•两=3,则cos何,》=閑『「舟,tan何,»=她仮与面ABC所成的二面角的正切值等于丰点评面对丰富的几何条件，尤其是每个顶点处都有，两两夹角及长度已知三线段，彖这一类条件下证算相关量，利用空间几何向量求解，是最易上手和操作的方法，但对填空或选择题，这样做也许会费时费力，小题大做，可它是万全Z策.解法2利用空间直角坐标系求解分别以04、DC、DD
3、为X、y、z轴正半轴，建立空间育角坐标0-厂乙得A（l,0,0）,E一2AF=一1,1,—•设平面4EF的法向量为3y+-z=0•32F+y+—z=()3h=VTT,又平面ABC的法向」丿——(、AE=0m=(x.y.z)由＜[m^AF=0量为DD^=（0,0,1）,由cos（㈣,品_fiQm__^,（DD,齐）=71-cos20-DD}故面施F与面ABC所成的二面角的正切值等于吕点评若用空间直角坐标系求解，其屮找作两两垂直三线，建立适当坐标系是关键.对策二利用公式cos^=—求解：其屮S表示二面角的一个半平面屮一封闭图形的面积，S'是SS在另半平面上的射影面
4、积.解法3由正方体性质可知AAEF在平血ABCD上的射影为AABC,设正方体棱长1,在RtACF+AF^^-^J2=54=—:在RtABE屮，AE=4a^+B^=—,取线段CF中点为M,在ion_V29_1s~TV93V93RtEMF屮，求得EF=—,取线段AF屮点为N,在RtANE屮，AF=^3由此得S』皿寺f拿书,s/展W得cos—芒喘,sinZ_co3务tan3=里空=—.故面AEF与瓯ABC所成的二面角的正切值等于—.cos033点评不失时机的利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重麻烦，使求解过程更经济.对策三利用
5、两半平面垂线求解解法4过点C作CH丄AF垂足为F,取线段AF的屮点为N,连接NO、N0〃AB,AB丄平面AEF=N0丄平l&lAEFCH丄EN,又CH丄AFCH丄平面AEF,又CF丄平l&lABCD,得二血角的两半平血的垂线CH、CF的夹角为ZFCH，该角和面AEF与曲ABC所成的二面角大小相「FF5等，又ZFCH=ZFAC,在RtFAC屮，tanZFAC=——=—,故面AEF与面ABC所成的二面角AC3的正切值等于点评二面角的两半平面的垂线所成角，与二面角大小相等或互补，这就需要对二面角大小作粗判断:当二面角的其屮一半平面上任意一点，在另一半平面上的身影在二面
6、角的半平面上，二面角为锐角；在棱上二面角为直角；在反向延伸面上，二面角为锐角.对策四找作二面角的棱，并作出平面角求解解法5利用相交直线找棱分别延长线段CB、FE交于P连接AP,则AP为平面AEF与平血ABC的交线，B、E=2EB,CF=2FqfnBEI丄、CFnCB=EPnDBI丄AP,正方形ABCDaDB丄AC,=2=得4P丄AC,又CG丄平［hiABC^AC.丄人几得ZFAC为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角,__a厂J7*0在RtFAC中，AC=近,CF=—,则tanZC,AC=—.31AC3点评若二血角的两半平血同时与第三个平面相交，这两条交线的交
7、点在二面角的棱上.解法6利用平行直线找棱记4CC1加=0,取AF的屮点为N,连接N0.N0//-CFyBE//-CF=2=2nNOIJfiEn屈HBD,又ENu平面AEF，平面AEFQ平面ABC=l^Pel//BD.以下解法同解法5点评当二面角的两半平面上，有两条互相平行的直线，由线面平行性质可知，二面角的棱与这组平行线平行.解法7利用平移平面找棱分别取线段AF、CF的屮点为N、M,连接NE、EM、NM,NO//-CF,BE//-CF=>N0//BE=>EM//BC,EN//BD=>平面ENM//ABC平面，则面=2=2=4EF与面ABC所成的二面角，为面AEF与
8、面ENM所
