求解无棱二面角大小三个对策

《求解无棱二面角大小三个对策》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、求解无棱二面角大小三个对策求解无棱二面角的大小思维活、方法多，是高考的热点，同时也是难点问题之一，现从一例高考题出发来系统疏理、归纳.题目（2011高考全国卷第16题）已知如右图，点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上，且B1E二2EB,CF二2FC1,则平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于对策一利用空间向量求解解法1（利用空间基向量求解）由题意，=+,=+=++.设平面AEF的法向量为n二x+y+z,由n•；二0,n•；二0,得（x+y+z）•；（+）二0,（x+y+z）•；（++）二0，把相关量代入化简，

2、得x+z二0，x+y+z二0.取z二3,解得x=y=-l,从而n二--+3,不难求得

3、n二.又平面ABC的法向量为，故n•；二（一+3）•；二3,所以cos〈，n）==,从而sin〈，n）==,tan〈，n）二•故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评面对丰富的几何条件，尤其是每个顶点处的向量求解无棱二面角大小三个对策求解无棱二面角的大小思维活、方法多，是高考的热点，同时也是难点问题之一，现从一例高考题出发来系统疏理、归纳.题目（2011高考全国卷第16题）已知如右图，点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上，且B1E二2EB

4、,CF二2FC1,则平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于对策一利用空间向量求解解法1（利用空间基向量求解）由题意，=+,=+=++.设平面AEF的法向量为n二x+y+z,由n•；二0,n•；二0,得（x+y+z）•；（+）二0,（x+y+z）•；（++）二0，把相关量代入化简，得x+z二0，x+y+z二0.取z二3,解得x=y=-l,从而n二--+3,不难求得

5、n二.又平面ABC的法向量为，故n•；二（一+3）•；二3,所以cos〈，n）==,从而sin〈，n）==,tan〈，n）二•故平面AEF与平面ABC所成二面

6、角的正切值等于.点评面对丰富的几何条件，尤其是每个顶点处的向量都容易表示两两夹角及线段的长度也容易求出，利用空间几何向量求解是最易操作的•虽然对于填空或选择题来说，这样也许会费时费力、小题大做，可这是一种万全之策.解法2（利用空间坐标系求解）分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标D-xyz,得A（1,0,0）,El,1,,F0,1,,从而二0,1,,二—1,1,・设平面AEF的法向量为m=（x,y,z）,由m•=0,m•；=0,得y+z二0,-x+y+z二0.取z二3,得m二（T,T,3）,故

7、m

8、二.又平面ABC的法向量为二（0,0,

9、1）,所以由cos<,m）可得sin〈，m）==,从而tan（,m>=.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评用空间直角坐标系求解时，找（作）两两垂直的三线建立适当的空间直角坐标系是关键.对策二利用公式cos9=求解，其中S是二面角的一个半平面中的一个封闭图形的面积，S'是S在另一个半平面上的射影的面积解法3由正方体的性质，可知AAEF在平面ABCD±的射影为AABC•设正方体的棱长为1,在RtAACF中，AF二二二；在RtAABE中,AE二二二.取线段CF的中点为点M,则在RtAEMF中，求得EF二；取线段AF的中点为点N,则在RtAANE中，EN二二二.由此得SAA

10、EF=AF•；EN=XX=,SAABC=AB•；BC=,得cos0==,sin0==,从而tan0==.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重麻烦，使求解过程更简便.对策三利用两个半平面垂线求解解法4过点C作CH丄AF垂足为点H,取线段AF的中点为点N,连结NO,则NO丄0B,而0B丄平面ACF,所以NE丄平面ACF.从而CH丄EN.又CH丄AF,所以CH丄平面AEF.又CF丄平面ABCD,从而可得二面角的两个半平面的垂线CH,CF的夹角为ZFCH,该角和平面AEF与平面ABC所

11、成二面角的大小相等.又ZFCH=ZFAC,所以在RtAFAC中，tanZFAC==.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评二面角的两半平面的垂线所成角的大小与二面角的大小相等或互补，这就需要先对二面角的大小作粗略的判断：当二面角的一个半平面上的任意一点在另一个半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角为锐角；当射影在棱上时，二面角为直角；当射影在反向延伸面上时，二面角为钝角.对策四找（作）二面角的棱，作出平面角求解解法5（利用相交直线找棱）分