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1、二面角的求解策略cos0=如何求二面角的人小，历來是空间儿何中的难点.本文重点介绍二血角的各种求解方法，并讨论和比较各种解法的优劣•我们希望即将丿应考的考生而对有关的考题，不仅能够正确地解出，而且能省时省力地用尽可能好的方法解出.一般地说，求二面角人小的方法主要有如下三种：(1)直接法•即通过求二面角的平而角,直接求这个二而角的大小.(2)投影法.即通过投影公式S'=S・cos0求二面角的人小.其中S'、S分别表示投影图形和被投影图形的面积，而()则是这两个图形所在平面的夹角.(3)向量法.即通过作二面角的两个面的法向量，将求二面角的人小转化为求这两个法向量夹角的大小
2、.在特殊情况下，冇时也可以采用其他方法.如利用公式cos0=cosa-cosp去求二面角的大小.其小e、°、B分别表示有关的线线角，线面角和二面角.在实战中，到底选用何种方法，应当因题因人而弄•事先就规定或提倡一定用某一种方法是不好的.请看：(一)二面角各种求法优劣性的比较.【例1】如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ZABC=90°SA丄平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=丄,求面SCD与面SBA所成2二面角的正切值.Y1,2,0)【解析1】(向量法)建立如图的空间直角坐标系.有：A(0,0,0),B(-1,0,0),C(-1,2,0),D(0,1,
3、0).由于AD丄平面SAB,平面SAB的一2个法向量为：nF(0,1,0)；设平面SDC的法向最为：112二(x,V,Z)•由込丄辺=>,3,彳0,*,—1卜0"2丄SC[(x,y,zX—1,2,-1)=0f丄y-Z=0令z=l,则y二2,x二1.=>2•一x+2y-z=0于是ri2二(L2,1)•Ani*112=2,且
4、niI=LIn2I=V6•设m,血夹角为。，则于是伽&二匹，山于原二而角为锐二而角，2故所求二面角的正切值亦为竝.2【评注】向量法的优点是，无须作出二而角的棱，也无须作其他的辅助线，仅凭向量的处标运算即能解决问题•但是本解也有明显的缺陷，一是计算繁杂
5、，二是得准确处理原二面角与相应法向量夹角的关系.【解析2】(投影法)如图,延长BA、CD交于P,连SP,作AM丄PC于M,连SM,则SM±PC（三垂线定理）.显然，△SPD在平面SPD上的射影是△SAP.VAD//BC,且AD二丄BC,AAD是ZXPBC2的中位线，AP=AB=1,・・・S^sp=丄，而2AM二“AD=苇.sm=yjAS2+AM2=花，PDV5V5/.Sa。=~xPDxSM=,于是cos^_^a5ap___2=,.・.5V
6、334—丁.即所求二面角的正切值为V
7、T【评注】从计算量看，投影法比之向量法要小，而且技巧性更高，还免除了原二面角与相应法向最夹角
8、之间的转化工作，所以就本题而言，投影法比向量法更为优越.【解析3】（直接法）如图，延长BA、CDAP二AB二AS二1.ZSAP二90°,SP=41.作AQ丄SP于Q,连DQ,显然AD丄平面SBP,ADQ丄SP,ZAQD是二面角C-SP-B的平面角，设为（）.则在直角三角形AQD中，=即所求二面角的止切值AQ2为虫・2【评注】木题屮两平面的夹角是无棱二而角.山于作其平而角不易，所以不少人都放弃了直接法.其实就本题而言，直接法恰好是最简单最实惠的方法.所以我认为，只耍是能够比较顺利地作出二面角的平面角的，述是以选用直接法为好.那么，作二而角的平而角乂有哪些技巧呢？请看：（
9、二）作二面角的平面角的两种基本手段.【例2】（2004高考•广东卷・18）如下图，在长方体ABCD—AiBiCiD,中,已知AB=4,AD=3,AAf2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB二FB=1.（1）求二面角C—DE—G的正切值；【分析】本题的特点是：在二面角的两个面中，已有CG丄平面ABCD,故对考虑利用三垂线定理构造二面角的平面角.【解析】（1）延长DE、CB交于H,连SH,lIlAADE^ABHE,BH=BE=1,・・.CH二CD二4,ACDH是等腰直角三角形，且DH二4血，作CG丄DH于G,连GG,TCG丄平面ABCD,GG丄DH,ZCGC）是二而
10、角C-DH-GD的平面角.则在直角三角形CGC.中，JCG二2,CG4x44VI=2^2,•••tanZCGCpcc{^2.CG一2故所求二而角的人小为arctan（2）答案为灼幺，解法略.【例3】在正方体ABCD-ADCD中,过顶点B、D、G作截面,则二面角B-DC-C的【分析】本题的特点是：二面角的两个而是有公共底边的两个等腰三角形，因而山平面儿何知识，只须作公底的两条中线，即得二面角的平面角，如图中的ZBMC即是.木题答案是arctanV2,解法略.（三）与二面角有关的考题举例.【例4】（2004高考・湖南卷・理19）如图，在底而是菱形的四棱锥
