二面角的求解策略.doc

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1、二面角的求解策略6如何求二面角的大小，历来是空间几何中的难点.本文重点介绍二面角的各种求解方法，并讨论和比较各种解法的优劣.我们希望即将应考的考生面对有关的考题，不仅能够正确地解出，而且能省时省力地用尽可能好的方法解出.一般地说，求二面角大小的方法主要有如下三种：（1）直接法.即通过求二面角的平面角，直接求这个二面角的大小.（2）投影法.即通过投影公式求二面角的大小.其中S′、S分别表示投影图形和被投影图形的面积，而θ则是这两个图形所在平面的夹角.（3）向量法.即通过作二面角的两个面的法向量，将求二面角的大小转化为求这两个法向量夹角的大小.

2、在特殊情况下，有时也可以采用其他方法.如利用公式去求二面角的大小.其中θ、α、β分别表示有关的线线角，线面角和二面角.在实战中，到底选用何种方法，应当因题因人而异.事先就规定或提倡一定用某一种方法是不好的.请看：（一）二面角各种求法优劣性的比较.【例1】如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.【解析1】（向量法）建立如图的空间直角坐标系.有：A（0，0，0），B（-1，0，0），C（-1，2，0），D（0，，0）.由于AD⊥平面S

3、AB，∴平面SAB的一个法向量为：n1=（0，1，0）；设平面SDC的法向量为：n2=（x，y，z）.由令z=1，则y=2，x=1.于是n2=（1，2，1）.∴n1·n2=2，且∣n1∣=1，∣n2∣=.设n1，n2夹角为θ，则.于是，由于原二面角为锐二面角，故所求二面角的正切值亦为.【评注】向量法的优点是，无须作出二面角的棱，也无须作其他的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能解决问题.但是本解也有明显的缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与相应法向量夹角的关系.【解析2】（投影法）如图，延长BA、CD交于P，连SP，作AM6⊥PC于M，连

4、SM，则SM⊥PC（三垂线定理）.显然，△SPD在平面SPD上的射影是△SAP.∵AD∥BC，且AD=BC，∴AD是△PBC的中位线，AP=AB=1，∴，而AM=，∴，于是，∴.即所求二面角的正切值为.【评注】从计算量看，投影法比之向量法要小，而且技巧性更高，还免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转化工作，所以就本题而言，投影法比向量法更为优越.【解析3】（直接法）如图，延长BA、CD交于P，连SP，则AD是△PBC的中位线，且AP=AB=AS=1.∠SAP=90°，∴.作AQ⊥SP于Q，连DQ，显然AD⊥平面SBP，∴DQ⊥SP，∠AQD

5、是二面角C-SP-B的平面角，设为θ.则在直角三角形AQD中，.即所求二面角的正切值为.【评注】本题中两平面的夹角是无棱二面角.由于作其平面角不易，所以不少人都放弃了直接法.其实就本题而言，直接法恰好是最简单最实惠的方法.所以我认为，只要是能够比较顺利地作出二面角的平面角的，还是以选用直接法为好.那么，作二面角的平面角又有哪些技巧呢？请看：（二）作二面角的平面角的两种基本手段.【例2】（2004高考·广东卷·18）如下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB

6、=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.【分析】本题的特点是：在二面角的两个面中，已有CC1⊥平面ABCD，故可考虑利用三垂线定理构造二面角的平面角.【解析】（1）延长DE、CB交于H，连SH，由△ADE∽△BHE，知BH=BE=1，∴CH=CD=4，△CDH是等腰直角三角形，且DH=4，作CG⊥DH于G，连C1G，∵CC1⊥平面ABCD，∴C1G⊥DH，∠CGC1是二面角C-DH-C1D的平面角.则在直角三角形CGC1中，∵CC1=2，∴tan∠CGC1=6.故所求二面角的大小为arctan.（

7、2）答案为，解法略.【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的大小是【分析】本题的特点是：二面角的两个面是有公共底边的两个等腰三角形，因而由平面几何知识，只须作公底的两条中线，即得二面角的平面角，如图中的∠BMC即是.本题答案是，解法略.（三）与二面角有关的考题举例.【例4】（2004高考·湖南卷·理19）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC

8、与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.【解析】（1）从图形特点看，只须证明PA⊥AB且PA⊥AD，即可证明PA⊥平面AB