资源描述：
《二面角问题的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二血角问题的求解策略密山红岩一般说來，求解二面角大小问题遵循“构造-证明-计算”的步骤进行，解决此类问题的关键是找到二面角的平面角。确定平面介的方法主要有三种：（1）定义法；（2）三垂线法；（3）垂面法。但有些二而角大小问题，运用以上办法很难顺利求解，针对这种二而角的问题乂将如何求解呢？本文以2013年高考全国（大纲）19题第二问为例加以说明.如图，四棱锥P-ABCD中，LABC=ABAD=90°BC=2AD^PABPAD都是等边三角形.（I）证明：PB丄CD;（II）求二面角A-PD-C的大小.证明：（I）取EC的中点E,连结D
2、E,则ABED为正方形，过P作PO丄平而ABCD,垂足为0。连结OA,OB,OE,OD.rtlAPAB与APAD都是等边三介形知PD二PA二PB,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABCD的对角线的交点。故AE丄BD,乂BC二2AD,所以AECD是平行四边形，从而CD丄DB,又PO丄平面ABCD,所以PO丄BD,又POcDB=O,所以CD丄平面PBD,从而。上题第二问的求解策略如下：视角一：无中生有，构造虚拟的二面角的平面角设平面a、0的平面角为&（如图二、三），=，点A到平面q的距离为d,在平面0内过点A作直线/的垂线，垂足为B
3、,贝iJsin^=-^-oAB思路：构造虚拟的二面角的平面角，求出此平面角的正弦值。这种求二面角大小的方法我们称作虚角法。该方法避免了大强度逻辑推理和髙要求的空间想象，从而降低了求解难度。该方法的关键是求点到平而的距离。法一：用体积法求点到平面的距离。（如图四）取PD的中点F,得AF1PD,连结AC、AF,设PA=2,由题可得PD=AD=2,AF=心,由(I)题4得AE=CD=2>/2,ZCDA=135°,PO=^20pVA_PCD,得d=l,设二面角C-PD-A的平面角为&,〜丰又二面角C-PD-A为钝角，Q'PCD丄DPxDAx
4、sinZADP=V3设点A到平而PCD的距离为d,2因为—厂则sin0=—AF得0=7t-arcsin,所以二而角C-PD-A为zr-arcsin^^o33点评：本方法是在所求二面角的一个平面内选一特殊点（不在交线上），利用体积法求出此点到另一平面的距离，再求出该点到这两个平面交线的距离，构造一个虚拟的直角三角形，所求二面角的平面角为这直角三角形的一个内角或其补角。法二;用线面平行性质求点到平面的距离（如图五）取PD的中点F,得AF丄PD。连结AF,设PA=2,山题口J得PD=PB=2,AF二爲BD=2逅。则PD丄PB山（I）知P
5、B丄CD；又PDcDC=D,故丄平而PCD,又F是PD的中点，O是DB的中点，所以FO〃PB从而F0丄平面PDC,F0二丄PB=1,所以点O到平面PCD的距离为2因为AO〃CD,所以点A到平而PCD的距离为1.设二而角C-PD-A的平面角为伙，则“口&=亠°/?乂二而角C-PD-A为钝角，得6^=^-arcsin^,所以二而角C-PD-A为;r—arcsin二33点评：此方法将点到平面的距离转化为求其它点到该平面的距离问题，转化过程中往往要借助于同一线段上点到平面的距离对应成比例、线面平行和面面平行的相关知识。视角二：拆锅倒灶，转化
6、所求二面角的平面角把所求二面角的平面角化为两个二面角的平面角的和或差，利用两角和差的止弦、余弦公式求解，这种方法我们称作和差法。法三：把二面角的平面角化为两个二面角的平面角的和。（如图六）取PD的中点F,得AF丄PD设PA=2,由题可得PD=PB=2,AF=厲BD=2近,rtl（I）知PO丄平而ADB,故PO丄0A,又0A丄DB,POCDB二0,两0A丄平而PBD,又AF丄DP,故F0丄PD,丿卿ZAFO是二面角—的平面角，设其为。，得Si"普。由（T）知CD丄平而PBD,CQu平面DCP所以平面PCD丄平lEPDBo设二而角C-P
7、D-A的平面角为&,兀0=—+ao得0-71-arccos——，所以二面角C-PD-A为;r—arccos23点评：把所求二面角的平面角转化为两个二面角的平面角的和或差，利用两角和差的正弦.余弦公式求解。一般的，转化的平面角多为平角或直角。视角三：移花接木利用向量知识求解向量具有数的运算和形的特征的双重身份，利用向量的方法可将推理计算转化代数运算，避免了逻辑推理和空间想彖，从而降低了求解难度。法四：利用向量角与二面角的平面角相等求解。（如图七）取PD的中点F,设PA=2,rh题可得PD=AD=2,AF=JJ,PD丄AF,由（T）题可
8、得CD=2^2,ZCD4=135°,网=2,
9、5pPD丄CD;・・・（顾丽）=60°,〈苑丽）=90°,〈ZX4,DC）=135。,
10、5c
11、=2>/2,=2。设二面角C-PD-A的平面角为〃，因为PD丄CD;PD丄FA,故0=（DC,
