第1章_信号分析基础

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1、第1章信號分析基礎1．1信號的時－頻聯合分析我們生活在一個資訊社會裏，而資訊的載體就是我們本書要討論的主題——信號。在我們身邊以及在我們身上，信號是無處不在的。如我們隨時可聽到的語音信號，隨時可看到的視頻圖像信號，伴隨著我們生命始終的心電信號，腦電信號以及心音、脈搏、血壓、呼吸等眾多的生理信號。對一個給定的信號，如，我們可以用眾多的方法來描述它，如的函數運算式，通過傅立葉變換所得到的的頻譜，即，再如的相關函數，其能量譜或功率譜等。在這些眾多的描述方法中，有兩個最基本的物理量，即時間和頻率。顯然，時間和頻率與我們的日常生活關係最為密切，

2、我們時時可以感受到它們的存在。時間自不必說，對頻率，如夕陽西下時多變的彩霞，音樂會上那優美動聽的旋律以及在一片寂靜中突然冒出的一聲刺耳的尖叫等，這些都包含了豐富的頻率內容。正因為如此，時間和頻率也成了描述信號行為的兩個最重要的物理量。信號是變化著的，變化著的信號構成了我們周圍五彩斑斕的世界。此處所說的“變化”，一是指信號的幅度隨時間變化，二是指信號的頻率內容隨時間變化。幅度不變的信號是“直流”信號，而頻率內容不變的信號是由單頻率信號，或多頻率信號所組成的信號，如正弦波、方波、三角波等。不論是“直流”信號還是正弦類信號都只攜帶著最簡單的

3、資訊。給定了信號的函數運算式，或隨變化的曲線，我們可以由此得出在任一時刻處該信號的幅值。如果想要瞭解該信號的頻率成分，即“在××Hz處頻率分量的大小”，則可通過傅立葉變換來實現，即（1.1.1a）（1.1.1b）式中，單位為弧度/秒，將表示成的形式，即可得到和隨變化的曲線，我們分別稱之為的幅頻特性和相頻特性。如果我們想知道在某一個特定時間，如48，所對應的頻率是多少，或對某一個特點的頻率，如，所對應的時間是多少，那麼傅立葉變化則無能為力。分析（1.1.1）式，對給定的某一個頻率，如，那麼，為求得該頻率處的傅氏變換，（1.1.1a）式對

4、的積分仍需要從到，即需要整個的“知識”。反之，如果我們要求出某一時刻，如處的值，由（1.1.1b）式，我們需要將對從至作積分，同樣也需要整個的“知識”。實際上，由（1.1.1a）所得到的傅氏變換是信號在整個積分區間的時間範圍內所具有的頻率特徵的平均表示。反之，（1.1.1b）式也是如此，因此，傅立葉變換不具有時間和頻率的“定位”功能。前已述及，信號的幅度不但隨時間變化，而且對現實物理世界中的大部分信號，其頻率也隨時間變化。實際上，在時域中愈是在較短時間內發生幅度突變的信號，其包含的資訊就愈多。但由傅立葉變換看不出在什麼時刻發生了此種類

5、型的突變。現舉兩個例子說明這一概念。例1．1．1設信號x(n)由三個不同頻率的正弦所組成，即（1.1.2）式中。為圓周頻率，，是信號的實際頻率，為抽樣頻率，所以的單位為弧度，和的關係是[19]:（1.1.3）的波形如圖1.1.1(a)所示，的傅立葉變換的幅頻特性，如圖1.1.1(b)所示。顯然，只給出了在及處有三個頻率分量，給出了這三個頻率分量的大小，但由此圖看不出在何時有頻率，何時又有及，即傅立葉變換無時間定位功能。圖1.1.1(c)是用我們後面所討論的方法求出的的聯合時－頻分佈。該圖是三維圖形的二維投影，在該圖中，一個軸是時間，一

6、個軸是頻率。由該圖可清楚地看出的時間－頻率關係。若將1.1.1(c)畫成三維圖，則如圖1.1.1(d)所示。48例1.1.2令（1.1.4）該信號稱作線性頻率調製信號，其頻率與時間序號成正比，在雷達領域中，該信號又稱作chirp信號，圖1.1.2(a)是其時域波形，，圖1.1.2(b)是其頻譜。顯然，無論從時域波形還是從頻域波形，我們都很難看出該信號的調製類型及其他特點。和圖1.1.1(c)一樣，圖1.1.2(c)也是的時－頻分佈表示，由該圖可明顯看出，該信號的頻率與時間成圖1.1.1信號的時－頻表示（a）信號x(n),(b)x(n)

7、的頻譜，(c)x(n)時－頻分佈的二維表示，(d)x(n)時－頻分佈的三維表示，48正比，且信號的能量主要集中在時間－頻率平面的這一斜線上。圖1.1.2(d)是圖1.1.2(c)的立體表示。圖1.1.2chirp信號的時－頻表示.（a）信號x(n),(b)x(n)的頻譜，(c)x(n)時－頻分佈的二維表示，(d)x(n)時－頻分佈的三維表示，頻率隨時間變化的信號（如例1.1.2中的）稱為時變信號。文獻[13]稱這一類信號為“非平穩”信號，而把頻率不隨時間變化的信號稱為“平穩”信號。此處的“平穩”和“不平穩”和隨機信號中的“平穩隨機信號

8、”及“非平穩隨機信號”48的意義不同。平穩隨機信號是指該類信號的一階及二階統計特徵（均值與方差）不隨時間變化，其自相關函數和觀察的起點無關，而非平穩信號的均值、方差及自相關函數均與時間有關，即是時變的。儘管這兩類說法的出