分类讨论问题初探

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1、分类讨论问题初探浙江省义乌市北苑学校王荣钱分类问题属于开放题型中的结论开放型和条件开放型。由于它对学生能力培养效果比较明显，普遍被采用，在考查中也常用来作能力检测题。分类问题主要内容分三大块：对图形位置的讨论；对最佳、最值方案的讨论、对参数的讨论等。在复习中须抓住它的关键——分类，做到分类的内容正确、方法得当、完整无缺、不重分不漏分。在分类问题中可以运用整体思想、数形结合思想、构造思想、化归思想等。解分类题的主要步骤是：1、看清特征，确定分域点；2、优选分类顺序；3、选择适当的分类标准。下面就与图有关的可

2、能出现分类讨论的题型作一些探索。这些问题一般属几何与函数内容。一、已知条件中不给图的问题例1：已知等腰三角形二边长为3㎝、4㎝，求这个等腰三角形周长。解：4433①若以3㎝长为等腰三角形的底，则周长为11㎝；②若以4㎝长为等腰三角形的底，则周长为10㎝。34启示：本题已知中因不附图，所以就可能产生两种情况，就要进行分类讨论。求等腰三角形内角时类似问题，用类方法解决。例2：已知△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，∠ABD=2∠DBC是等腰三角形，求∠A的度数。解：①若∠A是顶角，则AB是腰，另一腰必为A

3、C，此时，D与C重，不合题意；②若∠A是底角，AB是底边，则AD和BD为腰，如下图1所示，可求得∠A=45°。图1图2③若∠A是底角，AB是腰，则AB和BD是△ABD的腰，如图2所示，可求得∠A=72°。启示：本题已知图中因为“不附图”，所以就可能产生三种情况，就需进行分类讨论。每当几何题已知条件不附图时，在分析中就要考虑是否存在多种情况分类讨论。例3：在反比例函数y=图象上有一点M，其横坐标为3，在x轴上求一点N，使△OMN（O为原点）为直角三角形。解：由于Rt△omn中哪个角是直角未定，因此须进行分类

4、讨论，由于点N在x轴上，所以可设N点的坐标为（x,O），又可知M点的坐标为（3，1）。根据题意，可知∠MON≠45°，于是只考虑：（1）如果∠MON为直角，那么有x=3，∴N（3，O）（2）如果∠OMN为直角，那么有（3－0）2+（1－0）2+（3－x）2+1=x2，解得：x=,∴N点坐标为（,0），综上所述，可知N点坐标为（3，0）或（,0）。启示：本题的分类讨论也可以归纳到图形不定问题。不能确定哪一个角是直角，由此，点的坐标也不定，必须对三个角分别进行讨论，当然还应该注意∠MON不可能是直角。二、运动

5、问题例4：如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），⊙P与x轴关于原点O和点A，又B、C、E三点坐标为（－1，0），0，3），（0，b）且O＜b＜3。当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙P有哪几种位置关系？并求出每一种位置关系的b的取值范围。yARCBQOxP解：……，从特殊位置入手，设BF与⊙P关于F，与y轴交于E’。OB=1，PO=2，PF=2，∴由勾股定理得：BF=，又∵△OBE∽△FBP，可求得DE’=（符合O＜b＜3的条件），∴BF与y轴交点在点O与点C之间，∴①当O＜b＜时，BE与⊙P相

6、交；②当b=时，BE与⊙P相切；③当＜b＜3时，BE与⊙P相。启示：许多动点问题可以从特殊位置去考虑例5：已知：如图，四边形ABCD是矩形，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），动点P、Q同时从点O出发，P沿折线DACB方向运动，Q沿折线DBCA的方向运动。（1）若点P的运动速度是Q的3倍，点P运动到AC边上，连接PQ交OC于R，且OR=2，求直线PQ的函数关系式；（2）若点P的运动速度是每秒1.4个单位长度，点Q的运动速度是0.8个单位长度，运动到相遇时停止，设△OPQ的面积为S，运动时间为t

7、，求S与t的函数关系式。解：（1）……，∴直线PQ的函数关系式是y=27x－42(2)S与t的函数关系式分以下三种情况讨论：①设t秒后，P在OA上，Q在OB上，Q在OB上，则OP=1.4t，OQ=0.8t，∴S=0.5OQ，OP=t2；②设t秒后，P在AC上，Q在OB上，这时以OQ为底的△OPQ的高总是3，OQ=0.8t，∴S=0.5×0.8t×3=1.2t；③设t秒后，P、Q两点均在BC上，这时PQ为底的△OPQ的高总为4，则OA+AC+CP=1.4t，OB+BQ=0.8t,PQ=14－1.4t－0.8

8、t=14－2.2t,∴S=－4.4t+28。三、证明问题ABEPO例6：已知：⊙O的半径为R，已知点P作直线与⊙O交于A、B两点，证明：PA·PB=│R2－OP2│。证明：①当点P在⊙O外时，如右图，过点P作⊙O的切线PE，连OE、OP，则OE⊥PE，∴PE2=OP2－OE2=OP2－R2。②当点P在⊙O内时，如右图，过O、P作直线交⊙O于C、D∴PA·PB=PC·PD=（R－OP）·（Rtop）=R2－OP2。③当点P在⊙O