论文宋建华初中数学分类讨论问题方法初探

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1、教学参赛论文:初中数学分类讨论问题方法初探工作单位：和政县新庄初级中学姓名：宋建华联系电话：18993001898初中数学分类讨论问题方法初探新庄中学宋建华731200一年一度的中考是老师和学生最紧张的时刻，如何提高学生中考成绩，如何搞好中考备考显得尤为重要，根据近几年的带毕业班的教学经验，提出一些建议，与各位带毕业班的同仁们一起探讨。在数学中，有大量的知识涉及分类，女口，正数、负数与零;不等式的解集等。那么，在解决相关问题时，分类讨论思想方法就非常有必要了。数学分类思想，就是根据数学对象变质属性的相同的和不同点，将其分成几个不同种

2、类加以研究的一种数学思想。数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论來解决问题的一种逻辑方法。应用分类讨论，往往能使复杂的问题变得清晰、简单与明确。下面几个例题从不同方面运用了分类思想方法。一：分式方程无解的分类讨论问题例题1：方程丄+£=丄无解，求玄=兀一3%2-9兀+3解：去分母，得：3（兀+3）+ox=4（x一3）=>（a-1）x=-212121由已矢口=一3或=3或a-1=0a-1a・lci=&a=—6•或者a=I猜想:“无解”改为“有增根”如何解?a=8或a=—6例题2:方程———=2无解，求“兀+1x-1一元

3、二次方程系数的分类讨论问题例题3:已知方程mV+(2/77+1)x+1=0有实数根，求m的取值范围。(1)当加2=0时，即m二0时，方程为一元一次方程x+1二0,有实数根X=-1(2)当赤工0时，方程为一元一.次方程，根据有实数根的条件得:1A=(2m+1)2-4/7?2=4m+1>0,即m>，且加？H04综(1)(2)得，加常见病症：(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略肌「0的条件)总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式，即“二次方程”；(2)后置式，即“两实数根”。这都是表明

4、是二次方程，不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。例题4：当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4f?vc+4m2-4m-5=0的根都是整数。解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0,即赤工0,加hO,Aj>0,解得mWl.同理，a2>o,W得2-丄..・.-丄551月”工0,又因为m为整数.5取—1或1・〜44(1)当m=—1时，第一个方程的根为“-2±2血不是整数，所以m=一1舍去。(2)当m二1时，方程1、2的根均为整数，所以呼1・练习：已知关于

5、X的一兀二次方程(m-l)x2+X4-1=0有实数根，则m的取值范围是：伽一1H05lj04三：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题：5:方程F_9兀+18=0的两个根是等腰二角形的底和腰,则这个三角形的周长为()A12B12或15C15D不能确左例题6：三角形一边长AB为13cm,另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。(54或84)例题7：两圆相切，圆心距是7,其中一圆的半径为4,则另一圆的半径为：3或11.例题8：一条绳子对折后成右图A、B,A.B上一点P,且有BP二

6、2AP,将其从P点剪断，得到的•.•线APB段屮最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm或120cm四：函数中动点问题的分类。例题9:已知一次函数y—¥兀+3巧与X轴、y轴的交点分别为A、氏试在x轴上找一点P,使APAB为等腰三角形。分析：本题中APAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰二角形中哪两条是腰也没有确泄。APAB是等腰二角形有儿种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：(1)PA=PB；(2)PA=AB；(3)PB=AB0先可以求出B点坐标©3^),A点坐标(9,0)o设P点坐标为gO),利用两点间距离公式

7、可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为(-9,0)、(3,0)、(9+6巧,0)、(9-673,0)。(不适合条件的解已舍去)总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。例题10：如图，直线y=3x+3交X轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在

8、点Q,使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。说明从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛.这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础