分类讨论问题一

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1、分类讨论思想n分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。n分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。n分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如

2、代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。分类讨论问题一：等腰三角形中的分类讨论问题：例1 已知等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为_____.分析：70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为：180°－70°×2=40°；当70°角是顶角时，则顶角的度数就等于70°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或70°.说明：对于一个等腰三角形，当内角不确定是顶角还是底角时，应注意分情况讨论，再运用三角形内角和定理求解.拓展：将问题中的70°改成100

3、°，还需要分情况吗？请你试一试！例2  已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于6，则它的周长等于____.分析：本题中有可能腰长为4，也有可能腰长为6.当4是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于14；当6是等腰三角形的腰长时，这个三角形的底边长就是4，则此时周长等于16.所以这个等腰三角形的周长等于14或16.说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪条边是底边或腰时，应注意分情况讨论，先确定已知边是底边还是腰.然后再考虑是否符合三角形三边的关系.拓展：如果将问题中的两边改成4和9，你认为还会有两个答案吗

4、？请你试一试！例3 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.分析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得：或 解得：或即说明：这里需要注意的是求出来的解应满足三角形三边的关系.拓展：如果将问题中的9cm和12cm改成9cm和5cm，答案又应该是什么呢？例4 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.分析：本题中“等腰三角形一腰上的高”在三角形内部还是外部不明确，当这条高在三角形的内部时，

5、顶角为45°；当这条高在三角形的外部时，顶角为135°.说明：这里高在三角形内部或外部不确定，根本原因是三角形的形状不确定.因为三角形是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形时，高的位置会出现不同的情况.因此遇到有关三角形的高的问题，并且三角形形状不确定时，我们要先按角对三角形形状进行分类讨论，然后具体做答，当然等腰三角形也不例外.      拓展：如果将问题中的45°改成60°，试一试你能做出几个答案，你能说出这是为什么吗？例5、已知点A的坐标是（2，2），O是坐标原点，点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，求点P的坐标。分析：这里的底和腰没有明确，故应分类

6、讨论拓展：在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算．）分类讨论问题二：圆中的分类讨论问题：例1.已知内接于圆O，，则的度数为________。分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。拓展：已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，，则弦AB所对的圆周角等于__________。例2．已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是

7、大圆，谁是小圆。这时可把圆看成大圆，也可把圆看成小圆。 拓展：点P到⊙O最近点的距离是4，到最远点的距离是9，则圆的半径为      。例3．圆O的半径为5cm，弦AB//CD，AB=6cm，，求AB和CD的距离。分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。拓展：两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。例4.相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_________。分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。拓展：1、讨论

8、圆上到直线距离为定值的点 OM⊥l于点M，且OM=5