分类讨论问题的原因初探.doc

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1、高中代数分类讨论问题的原因初探分类讨论思想作为高考数学一种必考的数学思想，在高中数学教学中的地位可谓举足轻重，然而很多同学对分类讨论思想在什么情况下要用到，怎么样去使用分类讨论思想都还不甚了解。笔者在多年的高中数学教学中对该思想进行了一些梳理，以求起到抛砖引玉的作用。我认为造成高中代数分类讨论的常见的情形大体有如下几种。1、研究指数函数和对数函数性质时对底数必须分类讨论例如：已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．讨论f(x)的单调性解：当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0

2、<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．总结：本题中指数函数的底数是字母a，因此对字母a进行讨论成为首先要解决的问题。因为当a>1时和当00)，若f(x)≥lnx在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解：令g(x)＝f(x)－lnx＝ax＋＋1－2a－lnx，5x∈[1，＋∞)，则g(1)＝0，g

3、′(x)＝a－－＝＝，①当>1时，01，故g′(x)>0，g(x)是增函数，g(x)>g(1)＝0，即f(x)>lnx，故当x≥1时，f(x)≥lnx恒成立．综上所述，所求a的取值范围为.总结：本题中若令g′(x)＝0，得x=或x=1,由于给定区间为[1，＋∞)，故与1必须进行大小比较，因此出现了对a进行讨论。1、研究等比数列求和问题时必须对公比是否为1进行讨论例如：求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…

4、，1＋a＋a2＋…＋an－1的前n项和Sn.（a≠0）解：　若a＝1，则通项an＝1＋1＋…＋1＝n，于是Sn＝1＋2＋…＋n＝；若a≠1，则通项an＝1＋a＋…＋an－1＝＝(1－an)，5于是Sn＝＋＋…＋＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝。总结：本题中出现的数列通项中出现了字母a，求通项时就牵涉到等比数列求和，因此对公比a进行讨论成为必然，因为若不对公比a进行讨论就无法利用等比数列的求和公式。1、研究集合之间的关系时对是否为空集必须进行讨论例如：已知集合A＝{x

5、－2≤x≤7}，B＝{x

6、m＋1

7、2m－1，则m≤2.当B≠时，若BA，如图．则解得2

8、f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．④当a>2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．总结：本题中因为给出的二次函数图象开口向上，对称轴为x＝a.显然对称轴x＝a的位置与给定区间的位置关系决定了a必须与区间的端点0与2及区间的中点1进行大小比较。1、研究不等式的解集时对根的大小必须进行讨论例如：求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集解　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得

9、：x1＝－，x2＝.①a＞0时，－＜，解集为；②a＝0时，x2＞0，解集为{x

10、x∈R且x≠0}；③a＜0时，－＞，解集为.综上所述：当a＞0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x

11、x∈R且x≠0}；5当a＜0时，不等式的解集为.总结：本题中求解出一元二次方程的根－和以后需要写出一元二次不等式的解集，由－和的大小关系自然得到对字母a必须进行分类讨论。造成分类讨论的原因有很多，以上仅仅列举了几种较为常见的产生分类讨论的几种情况。实际上产生分类讨论的原因还有很多其他情形。这需要在解题时仔细去琢磨，去领会。望城一中彭学军2013年1