秦飞编著《材料力学》第12章 压杆的稳定性

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1、第12章压杆的稳定性StabilityofColumns秦飞编著《材料力学》PPT讲义秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性2本章主要内容12.1稳定性的基本概念12.2两端铰支细长压杆的临界载荷12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷12.4欧拉公式的适用范围与临界应力总图12.5压杆的稳定性校核12.6提高压杆稳定性的措施秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性312.1稳定性的基本概念稳定性是指平衡状态的稳定性，亦即物体保持其当前平衡状态的能力。图1圆球，干扰撤除后即能恢复其原有平衡状态，称为稳定平衡。图2圆球，称为不稳定平衡。图3放置在平面上的圆球，处

2、于“随遇而安”状态，称为中性平衡。123秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性4当受到轴向压力时，如果杆件是不存在材料、几何等缺陷的理想直杆，则杆受力后其轴线将保持直线形状。轴向压力较小时，给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去除后，杆仍会恢复其原来的直线形状，说明压杆处于稳定平衡状态。12.1稳定性的基本概念秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性5当轴向压力超过某一值时，当干扰去除后压杆不但不会恢复原来的直线形状，而且会继续弯曲，产生显著的弯曲变形甚至破坏。在轴向压力逐渐增大过程中，压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，发生失稳现象或屈曲(buck

3、ling)。此时的轴向压力值，称为压杆的临界力或临界载荷(criticalload)，用Fcr表示。12.1稳定性的基本概念如果将压杆的工作压力控制在临界载荷以下，则压杆不会失稳，因此，如何确定压杆的临界载荷是解决压杆稳定性问题的关键。秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性612.2两端铰支细长压杆的临界载荷两端球形铰支的细长等直杆，承受轴向压力F。当压力F增大到某一临界值Fcr时，杆由轴线为直线的平衡状态变为轴线发生微小弯曲变形的微弯平衡状态。如何确定Fcr？秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性7建立图示x-w坐标系，从处于微弯平衡状态的杆中取出一段，该

4、段必然也处于平衡状态。设该段右截面（距A端坐标为x）挠度为w,考虑到静力平衡条件，则该截面上必有一弯矩，其值为12.2两端铰支细长压杆的临界载荷秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性8设于是上式为二阶齐次常微分方程，其通解为设杆的弯曲刚度为EI，将上式代入挠曲轴近似微分方程式，得12.2两端铰支细长压杆的临界载荷秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性9杆B端的位移约束条件为：x=l，w=0。得在杆的A端，x=0，w=0。得b=0，于是12.2两端铰支细长压杆的临界载荷上式中，a、b和k均为待定常数。为确定这些常数，可以利用杆两端的位移约束条件。秦飞编著《材料

5、力学》第12章压杆的稳定性10当取sin(kl)=0时，待定常数必须满足条件或得上式表明，使杆处于微弯平衡状态的临界载荷有无穷多个。工程上通常取其中不为零的最小值作为压杆的临界载荷。12.2两端铰支细长压杆的临界载荷秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性11取n=1，上式改为上式称为计算两端铰支细长压杆临界载荷的欧拉公式(Euler’sformula)。当压杆截面在不同方向有不同的惯性矩时（如工字形截面或矩形截面等），应取其中最小的惯性矩Imin代入欧拉公式。12.2两端铰支细长压杆的临界载荷莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler,1707～1783)秦飞

6、编著《材料力学》第12章压杆的稳定性12由于挠曲轴近似微分方程成立的条件为小变形以及材料符合胡克定律，所以欧拉公式也只适用于小变形和杆中应力不超过材料比例极限情况。在临界载荷作用下，两端铰支压杆的微弯状态为半波正弦曲线，其幅值为a，亦即杆中点（x=l/2处）的挠度值。取n=1，得到12.2两端铰支细长压杆的临界载荷秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性1312.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷图示为两端固定约束的压杆，当轴向力F达到临界力Fcr时，杆处于微弯平衡状态。由对称性，设杆两端的约束力偶矩均为M0，则杆的受力情况如图将杆从坐标为x的截面截开，由静力平

7、衡，可得到x截面处的弯矩为秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性14代入挠曲轴近似微分方程式，得令上式可写为该微分方程的通解为12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性15一阶导数为考虑到压杆两端的位移约束条件分别为将上述条件代入上式，得到联立方程12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷秦飞编著《材料力学》第12章压杆的稳定性16满足上式的非零最小根为于是得若用μ表示反映不同杆端约束情况的长度因数，则不同杆端约束情况下细长压杆临界载荷计算公式可统一表示为12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷由上面四个方程解出仍然称为欧拉

8、公式。乘积(μl)称为压