年上学期同步测控优化训练高三数学 数学归纳法（附答案）

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1、高三数学同步检测(五)数学归纳法说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.一个与自然数n有关的命题当n=2时成立,且由n=k时成立可以推得n=k+2时也成立,则()A.该命题对于n＞2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值有关D.以上答案都不对答案B2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为(n-3)条时,第一步应验证n等于()A.0B.1C.2D.3答案D3.某个命题与正整

2、数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立分析本题借助数学归纳法考查四种命题间的关系,即原命题与其逆否命题等价,逆命题与否命题等价.解∵n=k时命题成立n=k+1时命题成立,其逆否命题是“n=k+1时命题不成立n=k时命题不成立”,∴n=5时命题不成立n=4时命题不成立.答案C4.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则n=

3、k+1时应得到()A.1+2+22+…+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k答案D5.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+()A.2πB.πC.D.解析因为增加一条边,凸多边形的内角和将增加一个三角形的内角和,所以凸多边形的内角和将增加π.答案B6.对于不等式＜n+1(n∈N*),某同学的证明过程如下:(1)当n=1时,＜1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即＜k

4、+1,则当n=k+1时,＜,∴当n=k+1时,不等式成立.上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设.答案D7.下列代数式能被9整除(其中k∈N*)的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)分析本题考查用数学归纳法证明整除性问题.解(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)、(2

5、)可知,命题3(2+7k)对任何k∈N*都成立.答案D8.设f(n)=,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)等于()A.B.C.+D.-分析用数学归纳法证明有关问题时,分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然,当自变量取n时,等式的左边是n项和的形式.解答案D9.使得多项式81x4+108x3+54x2+12x+1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4分析本题逆用二项式定理的展开式证明整除性问题.解∵81x4+108x3+54x2+12x+1=(3x+1)4,∴该式能被5整除的最小自然数x为3.答案C10.★用数学归纳法证明不等式1+++…+＞成立,则n取的第一

6、个值应为()A.7B.8C.9D.10分析本题考查用数学归纳法证明不等式.解∵1+++…+是首项为1,公比为的等比数列前n项的和,∴1+++…+=1--=2-.由2-＞,知＜,n最小取8.答案B第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1且n∈N*)”,在验证n=1时,左边计算所得的结果是.解析本题考查数学归纳法的应用.用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况.就本题而言,它的左边是按a的升幂排列的,共有(n+2)项,故当n取第一个值时,共有1+2=3项,它们

7、的和应是1+a+a2.答案1+a+a212.用数学归纳法证明n∈N*时,34n+2+52n+1被14整除的过程中,当n=k+1时,对34(k+1)+2+52(k+1)+1可变形为.分析用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除式整除的形式.解34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+6+52k+3=34k+6+34·52k+1+52k+3-34·52k+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.答案81(34k+2