上学期高三同步测控优化训练数学a：极限a卷附答案

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1、笫二章极限•知识网络•范题精讲【例1】求下列极限:⑴limZITOO(2)limx->-2兀'+3兀2+2xx2-x-6I93n-1分析-:当“无限增大时，二爲為二:篇的分子、分母中都含无穷多项，而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此，需要先将分子、分母化为含有有限多项的算式，然后再用极限的运算法则求极限•而所有数列的极限最终通过limC二C（常XT8数),lim丄二0,limq"=0(

2、q

3、Vl)来解决"T8M//—>00解:lim打一>8l-an=]im=lim(1")(1一。"

4、)-bnns(-a)(-bn)-b因为1

5、一

6、<1,

7、_

8、-2x(x+l)(x+2)(x-3)(x4-2)=lim业±12二lim-2（-2+1）=上xt-2x—3xt-2—2—35评注:对

9、于有限项数列（函数）的和、差、积、商的形式,如果每一项都有极限，可直接使用数列（函数）极限的运算法则求解；对不能直接使用数列俩数）极限运算法则的，对通过适当的变形，转化成常见数列（函数）极限的形式，再通过极限的运算法则求解.常见的变形思路和技巧是⑴对“超”型,通常将分子、分母同除以增得“最快”的单项；00（2）对—型,通常将分子、分母同乘以“8+8”，进行分子有理化后，再求极限；（3）对“°”型,通常将分子、分母进行因式分解，以约去使分子、分母为零的因式.«.iX・2【例2】已知数列备，暑Sn(2

10、尢-1)2(2/7+1)2n项和，计算得知尸罟'观察上述结果推测出计算几的公式，并用数学归纳法加以证明.分析:本题以数列为载体，主要考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法,先通过数列的结构特征进行观察和分析,猜想出S〃的公式，再对S”的公式用数学归纳法论证•前一部分是基础，后一部分是发展.这种“先猜想，后论证”的题型正是近几年高考的探索性题型，有利于培养创新意识和创造性思维,是热点Z—.用数学归纳法证题的关键是如何利用归纳假设.在利用归纳假设进行化简过程中，要时刻瞄准n=k+时等式右边这一目标.

11、2解:•，分母依次是3,5,7,9的平方数,分子比分母小I,由此猜想時罟定.证明如下:Q2_1Q⑴当心吋并亍〒等式成立;（2）设当n-k时，等式成立,即Sk=(2鸟+1)2-1(2£+1)2则Sm二Sr+8伙+1)(2比+1)2(2比+3)2=(2R+1)2_18伙+1)(2k+)2(2R+l)2(2k+3)2_[(2£+1尸一l](2k+3尸+8伙+1)~(2k+l)2(2£+3)2=(2k+1尸(2R+3尸一(2R+3尸+8伙+1)~(2R+1)2(22+3)2=(2k+l)2(2k+3)2

12、-(2R+l)2~(2k+l)2(2R+3)2二(2£+3)2_][2伙+1)+1]2_]"(2k+3尸~[2伙+1)+1『’即当n=k+1时,等式也成立.根据⑴、⑵，可知等式对任何/ieN*都成立.评注:数学归纳法通常用来证明与正整数有关的命题，它属于完全归纳法，有两个基本步骤：第一步是起始步,证明当“取第一个值必(弘是使结论成立的最小的正整数)时，结论正确;第二步是假设步，假设伙WN：且Qg)时结论正确，证明n=k+1时,结论也正确.其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据,两者相辅相成，缺

13、一不可.【例3】如下图，在RtAABC中,ZB=90°,tanC=丄,在ZVIBC内作一系列的正方形,2求所有这些正方形的面积和S.分析:这个题目的关键点是每一个小三角形都相似,据此可以写出S”与给的关系式，经过化简，再求极限.解:设第n个正方形的边长为為，则由三角形相似，可得5二空(其中必勺+他+…BC-SnBC+d“).因为AB二a,tanC二丄，所以BC=2ci.2于是——-——=—，即Sn=2a—2an.2a一Sn2当心2时，有an=Sn—Sn-i=—2an+2an-),a24即込=2如

14、

15、・冬=£・%9因为UmC=2，所以AB=a=ei^-—a.22所以ai2=-a2.所以数列他?}是首项为纟/公比为土的无穷等比数列,999a}249/七二一”・1-41-1599评注:解决与无穷数列各项和有关的应用问题，关键是由题意找准首项、公比，求出前nS=lim(Si+S2+•••+S/7)=lim?i->con->oo訶1-中"项和，再求极限•对于形如limqn的极限，当

16、0vl时，可直接使用lim^=0这一运算法则;>8n->oo当切>1时，可将分子、分母同除以增长“最