临界生三角、数列冲刺练（1）-2024届高三数学一轮复习Word版.docx

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临界生三角、数列冲刺练（1）时间：60分钟班级：___________姓名：___________1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6,b=2c,cosA=−14.(1)求c的值；(2)求sinB的值；(3)求sin(2A−B)的值.2．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=22，△ABC的面积为3.(1)求AC；(2)求∠ACD.3．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−2bcosA=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．学科网（北京）股份有限公司 4．已知等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且3a1，a3，5a2成等差数列，S4+5=5a3．(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=an⋅log3an+1，求数列bn的前n项和Tn．5．设数列an满足a1+3a2+…+(2n−1)an=2n.（1）求an的通项公式；（2）求数列an2n+1的前n项和．6．在数列an中，a1=−1，an=2an−1+3n−6n≥2,n∈N*.(1)求证：数列an+3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bn=an+n，求数列bn的前n项和Tn.学科网（北京）股份有限公司 参考答案1．【详解】（1）因为a2=b2+c2−2bccosA，即6=b2+c2+12bc，而b=2c，代入得6=4c2+c2+c2，解得：c=1．（2）由（1）可求出b=2，而0AD，所以0°<∠ACD<60°，所以∠ACD=45°.3．【详解】（1）因为c−2bcosA=b，由正弦定理得sinC−2sinBcosA=sinB，又A+B+C=π，所以sinA+B−2sinBcosA=sinAcosB−cosAsinB=sinA−B=sinB，因为△ABC为锐角三角形，所以A∈0,π2，B∈0,π2，A−B∈−π2,π2，又y=sinx在−π2,π2上单调递增，所以A−B=B，即A=2B；（2）由（1）可知，A=2B，所以在△ABD中，∠ABC=∠BAD，由正弦定理得：ADsinB=ABsinπ−2B=2sin2B，所以AD=BD=1cosB，所以S△ABD=12×AB×AD×sinB=sinBcosB=tanB．又因为△ABC为锐角三角形，所以00，所以q=3，由S4+5=5a3，得a134−13−1+5=5×32a1，解得a1=1，所以an=a13n−1=3n−1n∈N*.（2）由（1）知，bn=n×3n−1，则Tn=1×30+2×31+3×32+⋯+n×3n−1，所以3Tn=1×31+2×32+3×33+⋯+n×3n，两式相减可得−2Tn=30+31+⋯+3n−1−n×3n=1−3n1−3−n×3n，整理可得Tn=2n−14×3n+14．5．【详解】（1）数列an满足a1+3a2+…+2n−1an=2nn≥2时,a1+3a2+…+2n−3an﹣1＝2n−1∴2n−1an=2∴an=22n−1当n=1时,a1=2,上式也成立∴an=22n−1（2）an2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1∴数列an2n+1的前n项和=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+16．【详解】（1）∵an=2an−1+3n−6n≥2,n∈N*，∴当n≥2时，an+3nan−1+3n−1=2an−1+3n−6+3nan−1+3n−3=2an−1+3n−3an−1+3n−3=2，数列an+3n是首项为a1+3=2，公比为2的等比数列，∴an+3n=2n，an=2n−3n；（2）bn=an+n=an=2n−3n+n=2n−2n数列bn的前n项和Tn=b1+b2+...+bn=21−2+22−4+23−6+...+2n−2n=21+22+...+2n−2+4+6+...+2n=21−2n1−2−2+2n2×n=2n+1−2−n(n+1)．学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司