2023届高考数学一轮复习数列不等式专项练-+Word版

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数列不等式专项练一、单选题1．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（       ）A．B．C．D．2．已知数列的首项为，且，若，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．3．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ）A．，B．C．，D．4．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出猜想：是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数，现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．5．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，，则当时，的最小值是（       ）A．9B．10C．11D．126．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（       ）A．B．

1C．D．7．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（       ）A．B．2C．3D．8．数列满足，且，若，则的最小值为（       ）A．B．C．D．9．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（       ）A．8B．9C．10D．1110．数列是等比数列，公比为，且.则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件二、填空题11．已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.12．已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.13．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________.三、解答题14．已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.①数列是等比数列，，且，，成等差数列；②数列是递增的等比数列，，；③.

2(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.15．设数列的前n项和为，且，数列．(1)求和的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：．16．已知数列满足，，且对任意，都有．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m．17．已知数列满足，．(1)求证：数列是等差数列；(2)令，若对任意n∈N*，都有，求实数t的取值范围．18．已知数列是等差数列，且，求：(1)的通项公式；(2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值．

31．D【详解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，对于任意不等式恒成立，则，解得.故选：D2．C【详解】因为，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，当时，，不等式可化为恒成立，所以；当时，，不等式可化为恒成立；当时，，不等式可化为恒成立，所以，综上可得，实数的取值范围是.故选：C.3．D【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，

4所以，解得．故选：．4．A【详解】，由于，则，，因为在上单调递增，所以，即，故，解得或，故选：A．5．B【详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，，是以1为首项，2为公比的等比数列，，，而，所以数列是单调递增数列，且，，，，所以．所以当时，n的最小值是10．故选:B．6．D

5【详解】，故，故恒成立等价于，即恒成立，化简得到，因为，当且仅当，即时取等号，所以．故选：D7．D【详解】若n=1，则，故；若，则由得，故，所以，，又因为对恒成立，当时，则恒成立，当时，，所以，，，

6若n为奇数，则；若n为偶数，则，所以所以，对恒成立，必须满足.故选：D8．B【详解】因为，等式两边同时乘以可得，所以，且，所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，，因为.当时，；当时，，即数列从第二项开始单调递减，因为，，故当时，；当时，.所以，，则的最小值为.故选：B.9．B【详解】解：因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以由得：

7当时，即当时，当时，所以n的最大值是.故选：B.10．A【详解】由题意，，，，则，因为，，若要使即，则需使，即或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.11．【详解】由题设，，则是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，，则在上递增，所以，要使恒成立，则.故答案为：12．【详解】由题意，数列满足，，则（常数），所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，整理得，不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则，

8当时，，此时数列为递增数列；当时，，此时数列为递减数列，又由，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.13．【详解】当时，，得，当时，由，得，两式相减得，得，满足此式，所以，因为，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以对于任意的，不等式恒成立，可转化为对于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以实数的取值范围为故答案为：14．(1)(2)证明见解析(1)

9解：若选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，所以，解得，所以；若选②：因为数列是递增的等比数列，，，所以，所以，，所以；若选③：因为，所以，两式相减可得，即，又时，，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；(2)证明：由（1）知，所以，因为，所以，即.15．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据可得，从而可得；（2）利用错位相减法可得，从而可得，又，即可证明不等式成立.(1)解：∵，∴当时，，当时，，∴，经检验，也符合，∴，；(2)证明：因为，

10∴，∴∴，又∵，∴，所以．16．(1)证明见解析；(2)【分析】(1)由条件可得从而可证明，再根据累加法可求出的通项公式.(2)由错位相减法求出的表达式，然后再解不等式从而得出答案.（1）由，得，所以是等比数列.所以从而所以，．（2）设即，所以，，于是，．因为，且，所以，使成立的最大正整数．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题目中的递推公式和等差数列的定义证明即可；（2）首先可得，，然后判断出{}的单调性，得到其最大的一项，然后可得答案.(1)

11证明：由an，得，∴，即，n∈N*，故数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由（1）得，∴．依题意，恒成立．其中．下面通过判断{}的单调性，求其最大值．由，所以当时当时∴，则，解得t或t3．∴实数t的取值范围是．18．(1)(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式；（2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件数轴法求出的取值范围并求得最小值.(1)设数列公差为，则，则，解得.∴的通项公式为：(2)根据题意，.

12若对任意恒成立，则，解得.∴的最小值为9.