广东省珠海市2021-2022学年高二上学期期末考数学Word版含答案.doc

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珠海市2021—2022学年度高二第一学期期末普通高中学生学业质量监测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】B2.已知空间向量，，则（）A.B.19C.17D.【答案】D3.已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）A.54B.71C.81D.80【答案】C4.已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B5.已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】C6.已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（） A.B.C.D.【答案】D7.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192B.128C.3D.1【答案】A8.已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A.B.2C.4D.【答案】A9.如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（） A.B.C.D.【答案】C10.已知数列的通项公式是，则（）A10100B.-10100C.5052D.-5052【答案】D二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11.已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内B.圆M关于对称C.半径为D.直线与圆M相切【答案】BD12.如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A.B.C.，D.【答案】BCD三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分.13.已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________. 【答案】##14.已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.【答案】15.已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.【答案】16.已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________. 【答案】##四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列的公差为，满足，________?（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和得到最小值时的值.【答案】（1）选择条件见解析，（2）【小问1详解】解：设等差数列的公差为，得，选①，得，故，∴.选②，得，得，故，∴.选③，，得，故，∴； 【小问2详解】由（1）知，，，∴数列是递增等差数列.由，得，∴时，，时，，∴时，得到最小值.18.如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.【小问1详解】 矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故两两垂直，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：∵，则，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小问2详解】由（1）知，平面的法向量为，又向量，则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，则.故直线与平面所成角正弦值为.19.已知圆过点，，且圆心在直线：上. （1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.【答案】（1）；（2）20.如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系 ∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小问2详解】，，∴平面∴为平面的法向量 则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角.∴平面与平面所成角的余弦值为.21.已知数列是正项数列，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）22.已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图. （1）求，的方程；（2）求证：直线和的斜率之积为定值；（3）求证：为定值.【答案】（1）：；：（2）证明见解析（3）证明见解析【小问1详解】由题设知，椭圆离心率为解得∴，∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，∴设双曲线：∴的离心率为解得. ∴：：；【小问2详解】证明：∵点在上∴设则，∴.∴直线和的斜率之积为定值1；【小问3详解】证明：设直线和的斜率分别为，，则设，：与方程联立消得“*”则，是“*”的二根则则同理 ∴.