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1、个人收集整理勿做商业用途一元二次方程及其解法一、一周知识概述1、整式方程 等号两边都是关于未知数的整式的方程,叫做整式方程.2、一元二次方程 一个整式方程整理后如果只含有一个未知数,且未知数的最高次项的次数为2次的方程,叫做一元二次方程.3、一元二次方程的一般形式 方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,+bx,+c分别叫做二次项,一次项和常数项,a、b分别称为二次项系数和一次项系数.4、一元二次方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.5
2、、直接开方法 形如x2=a(a≥0)和(x+m)2=n(n≥0)的方程,根据平方根的定义,可采用直接开平方法解方程.6、配方法解一元二次方程例如:将方程x2+6x+7=0的常数项移到右边,并将一次项6x改写成2·x·3得:x2+2·x·3=-7. 可以看出,为了使左边成为完全平方式,在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得 x2+6x+32=-7+32,整理得 (x+3)2=2, 解这个方程得. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法.这种方法就是先把方程的常数项移到方程的右边,再把左边配成一个完
3、全平方式,如果右边是非负数,就可以直接利用开平方法求出它的解.7、一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时的根为. 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法.8、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,; (2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根; (3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=
4、0(a≠0)没有实数根. 其中b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.个人收集整理勿做商业用途9、因式分解法 (1)分解因式法:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解,从而求出原方程的解,这种解一元二次方程的方法称为分解因式法. (2)用分解因式法解一元二次方程的步骤: ①将方程的右边化为0; ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程; ④解这
5、两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.二、重难点知识归纳1、一元二次方程的解法.2、一元二次方程根的判别式.三、典型例题剖析例1、关于x的方程是一元二次方程,则m=______;解: 由题意得解得. 故填.例2、(1)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0,则a的值为()A.1 B.-1C.1或-1 D.(2)关于x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0,则2m2-4m+3的值为()A.3
6、 B.19C.±2 D.3或19思路: 根据方程的根的定义可知数0都满足方程,但不同的是第(1)题给出的是关于x的一元二次方程,而第(2)题是关于x的方程,即后者有可能是关于x的一元一次方程,即(m+2)2有可能为0,也有可能不为0,前者的二次项系数(a-1)一定不为0. (1)将x=0代入方程(a-1)x2+x+a2-1=0得a2-1=0,∴a=1或a=-1,又因为关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0是一元二次方程,∴a-1≠0即a≠1,
7、故a的值为-1; (2)将x=0代入原方程得m2-4=0,∴m=±2,当m=2时,2m2-4m+3=3,当m=-2时,此时方程为一次方程,符合题意,且此时2m2-4m+3=19,故所求的代数式的值为3或19.解: (1)B; (2)D.总结: (1)代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法; (2)要注意关于x的方程与关于x的一元二次方程的区别,后者必须满足二次项系数不能为0.个人收集整理勿做商业用途例3、已知m、n都是方程x2+2006x-2008=0的根,试求(m2+2006m-200
8、7)(n2+2006n+2007)的值.思路: 根据一元二次方程的根的定义,由于m、n都是方程x2+2006x-2008=0的根,所以m2+2006m-2008=0,n2+2006n-2008=0,由此不难求出(m2+2006m-2007)和(n2+2006n-2007)的值.解: ∵m、n是方程x2+2006x-2008=0的根, ∴m2+2006m-2008=0