第七章 向量代数与空间解析几何.ppt

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1、第七章向量代数与空间解析几何如同平面解析几何那样，空间解析几何是通过建立空间直角坐标，把空间的点与三元有序数组对应起来，用三元方程及方程组来表示空间几何图形，从而可以用代数的方法来研究空间几何问题，而这又是学习微积分的基础。§1向量及其线性运算一.向量的概念1.数量与向量：仅有数值大小的物理量称数量或标量，如温度、时间等。不仅有大小，还有方向的量称向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：一般用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的记法：①用粗体字母，如a、I；或上面加箭头的字母，如4.向量的模：即向量的大小，②用顺序写出始点和终点的记法，如

2、特殊情形：单位向量：模等于1；零向量：模等于0，记为0，其方向可以是任意的；负向量：与a大小相等方向相反的向量，记为-a.的模记为而其属性不变，本章中只研究自由向量。5.自由向量：与始点位置无关的向量，可以对其进行平移1.向量的加法：（即向量的合成，可参照力的合成法则）①定义：将a、b的始点放在一起，以a、b为邻边作平行四边形，则从始点到对角顶点的向量称a、b的和，记a+b（称平行四边形法则）。aba+b称为平行向量，也称为共线，易知其方向相同或相反。若a与b在同一条直线上或在两条平行直线上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向相同，记a=b.二.向量的线性运算：②平行向

3、量的和：当a与b方向相同时，其和向量的模等于两向量模之和，其方向与a、b方向相同；当a与b方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方向与a、b中模较大的向量的方向相同；⑤运算律：1）交换律：a+b=b+a2）结合律：（a+b）+c=a+(b+c)④三角形法则：向量的加法还可以使用三角形法则，如图：③特殊情况：a+0=a；a+（-a）=0.aba+b2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+（-b），可使用三角形法则求出，如图：aba-b3.向量与数的乘法：①定义：向量a与数的乘积仍为一向量，记为a.其模：其方向：当>0时与a相同，当<0时与a相反，=0时为零向量

4、；特别：1·a=a，（-1）a=-a.②两个非零向量平行充要条件：存在≠0，使a=b.③非零向量单位化：设a≠0，与a同向的单位向量记为ao，易知ao=④运算律：结合律：(a)=(a)=()a分配律：（+）a=a+a；（a+b)=a+b=a,三.向量在轴上的投影1.两非零向量的夹角：设a、b≠0，将其始点移至同一点O，设=b,则规定向量与之间不超过的夹角为向量a与b之间的夹角，记作（a,^b),或（b，^a).如图：BabAO类似地可规定向量与一坐标轴的夹角或空间两轴的夹角.2.向量在轴上的投影：①点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，则

5、与u的交点A’称为A在轴u上的投影.如图：AA’②向量在轴上的投影：设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则x2-x1称为向量在x轴的投影，记作同样令分别为x轴上的单位向量，则有或将投影，分别叫做向量的坐标再设C点的坐标，则不难证明即和的投影等于投影的和一般地有：个向量之和在轴上的投影等于各个向量在轴上投影之和注：①相等向量在同一轴上的投影相等。②易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝角时投影为负；成直角时投影为0.BAA’uB’B”u’3.关于向量投影的定理：定理1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。其中=即任何一个向量可在坐标轴上

6、的分解，即分别称为在轴，轴上的向量称为投影，或坐标，或数量若已知向量的坐标,则向量的大小和方向就被确定由可得称为的方向余弦定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积总之，我们将数量和向量这一对矛盾统一在之中§2空间直角坐标系与向量的坐标一.空间直角坐标系：1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴（分别称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手法则排列）所组成的坐标系称为空间直角坐标系，记为Oxyz。其中以三坐标轴正向确定的称第Ⅰ卦限，按逆时针方向依次称第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ卦限下面称第Ⅴ卦限，再按逆时针方向依次称第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。3.点的坐标

7、：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，则称M点的在该空间坐标系中的坐标为（x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点；Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整个空间分为八个部分，每个部分称为一个卦限，OQPzyxMR坐标平面：xOy面上为（x,y,0