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1、第七章向量代数与空间解析几何讲授内容：§7-1向量及其线性运算教学目的与要求：1．理解向量概念.2．掌握向量的加减以及数乘运算律，掌握两向量平行的充要条件.教学重难点：重点――向量的线性运算.难点――两向量平行的条件的运用.教学方法：讲授法教学建议：掌握用向量的理论证明几何问题.学时：2学时教学过程：一、向量概念向量:既有大小又有方向的量.向量在数学上的表示:有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量.其中
2、AB
3、表示向量的大小;有向线段的方向表示向量方向或者表示为:a、b、c或者、、等.自由向量:与起点无关的向量.向量a=
4、bÛ大小相等、方向相同.向量的模:向量的大小
5、AB
6、.单位向量:模等于1的向量.零向量:模等于0的向量,记作0,或者,起点与终点重合,方向任意.向量a∥b:两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行.两向量共线:两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上;第七章第62页k个向量共面:k个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.例:把空间中的一切单位向量归结到共同的始点，他们的终点构成单位球面一、向量的线性运算1.向量的加法设有向量a与b,任取一点A,作AB=a,再以B为终点,作BC=b,连接AC,则AC
7、=c,称为a与b的和,记作c=a+b.三角形法则平行四边形法则加法的运算规律（1）交换律a+b=b+a（2）结合律(a+b)+c=a+(b+c)(结合律示意图)(s=a1+a2+a3+a4+a5示意图)推广:任意有限个向量,,…,的和可记为++…+.作图法,由向量的三角形求和法则推广到多边形法则即（当An与O重合时）2.向量的减法a的负向量:与a的模相同,方向相反的向量.记作–a.a－b∆a+(-b)任给向量AB及点O,有:第七章第62页AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:
8、a+b
9、≤
10、a
11、+
12、b
13、;
14、a–b
15、≤
16、a
17、
18、+
19、b
20、;1.向量与数的乘法向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,其模为:
21、λa
22、=λ
23、a
24、,其方向为:当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.运算规律:(1)结合律:λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.(2)分配律:(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb.向量的线性运算:向量相加及数乘向量2.两向量平行的充分必要条件定理:设向量a≠0,则向量b∥aÛ$
25、λÎR:使b=λa.证明:充分性显然(必要性)设b∥a.取
26、λ
27、=
28、b
29、/
30、a
31、,且规定:b与a同向时,λ>0;b与a反向时,λ<0.则有:b=λa
32、.唯一性设b=λa,b=μa,则(λ－μ)a=0Þ
33、λ－μ
34、
35、a
36、=0因
37、a
38、≠0,Þλ=μ3.向量a的单位向量ea:ea=a/
39、a
40、.例1.在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA,MB,MC,MD,这里M是平行四边形对角线的交点.第七章第62页解:MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2;MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB=(a-b)/2;MD=-MB=(b-a)/2作业：高等数学练习册C习题三十六第4题教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解
41、》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：用向量的方法证明：梯形两腰中点的连线平行底边且等于两底边和的一半.第七章第62页讲授内容：§7-2点的坐标与向量的坐标教学目的与要求：1．理解空间直角坐标系的概念.2．掌握用坐标进行线性运算的方法，会求向量的模以及两点间的距离.3．掌握定比分点的坐标公式.教学重难点：重点――用坐标进行线性运算.难点――理解空间直角坐标系的概念.教学方法：讲授法教学建议：在解题过程中要掌握数形结
42、合的方法，充分采用向量形式，最后用代数方法解之.学时：2学时教学过程：一、空间直角坐标系坐标轴:x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为i,j,k.构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符合右手规则.坐标面:任意两条坐标轴确定的平面.xOy平面;xOz平面;yOz平面.卦限:坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.第七章第62页卦限内点的坐标如下表.卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx＋－－＋＋－－＋y＋＋－－＋＋－－z＋＋＋＋－－－－向量的坐标分解式:给定向量r,对应点M,
43、使OM=r.则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR设OP=xi;OQ=yj;OR=zk.则r=OM=xi+yj+zk.称为r的坐标分解式.空间点M,向量r=OM与有序数组(x,y,z)的关系:M↔r=OM=xi+yj+zk↔(x,y,z)称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y
