第七章 空间解析几何与向量代数

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1、第七章空间解析几何与向量代数1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.解答：（1）xOy面：，yOz面：，zOx面：；（2）x轴：，y轴：，z轴：；（3）所属章节：第七章第一节难度：一级2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为，点（4，－3，5）到轴的距离为，点（4，－3，5）到轴的距离为，点（4，－3，5）到轴的距离为.所属章节：第七章第一节难度：一级3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比

2、等于2：1，试求分点的坐标.解答：设分点坐标为，则由条件，解得，即所求分点坐标为.所属章节：第七章第一节难度：一级4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a，求各顶点的坐标.解答：各顶点的坐标为：所属章节：第七章第一节难度：一级5．在yOz平面上求一点，使它与点A（3，1，2），点B（4，－2，－2）和点C（0，5，1）的距离相等.解答：设所求点为，则由条件有，故，解得.即所求点为.所属章节：第七章第一节难度：一级6．在z轴上求一点，使它到点A（－4，1，7）和点B（3，5，－2）的

3、距离相等.解答：设所求点为，则由条件有，故，解得.即所求点为.所属章节：第七章第一节难度：一级7．已知向量a和b的夹角为60°，且试求和解答：由于，代入已知条件，即可得；又由于，故.所属章节：第七章第三节难度：二级8．设向量a和b的夹角为，且试求：（1）（2）解答：（1）；（2）.所属章节：第七章第三节难度：二级9．设其中向量a和b的夹角为，试求及.解答：；由于，所以.所属章节：第七章第三节难度：二级10．设且问：（1）k为何值时，（2）k为何值时，A与B为邻边的平行四边形面积为6.解答：(1)要使，则，即，代入条件

4、即，解得；（2）要使以A与B为邻边的平行四边形面积为6，即，代入条件即，解得或所属章节：第七章第四节难度：二级11．已知向量a+3b垂直于向量7a－5b,向量a－4b垂直于向量7a－2b,试求向量a与b的夹角.解答：因为a+3b^7a-5b，a-4b^7a-2b，所以(a+3b)×(7a-5b)=0,(a-4b)×(7a-2b)=0，即7

5、a

6、2+16a×b-15

7、b

8、2=0,7

9、a

10、2-30a×b+8

11、b

12、2=0，由以上两式可得,于是，.所属章节：第七章第三节难度：二级12．设求：解答：.所属章节：第七章第四节难度

13、：二级13．设试求下列各向量的坐标：（1）（2）（3）解答：（1）；（2）；（3）.所属章节：第七章第二节难度：一级14．求向量的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答：；与坐标轴的夹角余弦分别为，故与坐标轴的夹角分别为.所属章节：第七章第二节难度：一级15．已知一向量的起点是A(2,－2,5),终点是B(－1,6,7),试求：（1）向量在各坐标轴上的投影；（2）向量的模和方向余弦；（3）的单位向量.解答：由于向量，所以（1）向量在各坐标轴上的投影为（2）向量的模，方向余弦为；（3）的单位向量.所属章节：第七章第二节难度：

14、一级16．已知向量的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.解答：终点坐标为.所属章节：第七章第二节难度：一级17．已知向量的终点为B（2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A的坐标.解答：起点A的坐标.所属章节：第七章第二节难度：一级18．已知向量求与同向的单位向量.解答：由于，单位化，与同向的单位向量为.所属章节：第七章第二节难度：一级19．设向量且，试求l与m的值.（题目与解答不统一）如果题目中向量为，则答案为即原参考答案，下面按原题解答.参考答案：解答：由于，所以，解得或.所属

15、章节：第七章第二节难度：一级20．已知向量试求与解答：；.所属章节：第七章第四节难度：一级21．已知和，试求向量在向量上的投影.解答：，，.所属章节：第七章第四节难度：一级22．设直线L通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L的距离.解答：设，点到直线的距离为，则利用，，解得.所属章节：第七章第四节难度：二级23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点.解答：设，所求点为，由题意知，即，解得.所属章节：第七章第四节难度：一级24．求以向量为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：

16、由于，所以所求六面体的体积为.所属章节：第七章第四节难度：三级25．试证和四点共面.解答：由题意，由于，所以四点共面.所属章节：第七章第四节难度：三级26．确定球面的球心和半径.参考答案：球心（本题参考答案有误）解答：将原方程配方，得，故球心为，半径为.所属章节：第七章第五节难度：一级27．一球面过坐标原点和三点，试确定该球面的方程.参考答案：