第七章 空间解析几何与向量代数

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1、第七章空间解析几何与向量代数(一)1．自点分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。2．过分别作平行于轴的直线和平行于面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？3．在空间直角坐标系下，设点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，求、、。4．在平面上，求与三点、和等距离的点。5．证明是一个球面方程，并求出球心和半径。DCMAB第6题6．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。第7题7．如图，在平行六面体中，，，，试用，，来表示对角线向量，。第8题8．把的边五等分，设分点依次为，，，

2、，再把各分点与点连接，试以，表示向量，，和。9．已知，，求的模、方向余弦与方向角。10．已知，，，求下列各向量的坐标：(1)；(2)；(3)；(4)611．设向量的方向余弦分别满足(1)；(2)；(3)，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？12．分别求出向量，及的模，并分别用单位向量，，表示向量，，。13．设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。14．已知的三个顶点为，，，求角的大小。15．在坐标面上求一与已知向量垂直的向量。16．求以，，为顶点的三角形的面积。17．求与向量，都垂直的单位向量。18．设三向量，，满足，试证三向量

3、，，共面。19．求与坐标原点及点的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？20．将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。21．画出下列各方程所表示的曲面：(1)；(2)；(3)。22．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1)；(2)；(3)；(4)。23．说明下列旋转曲面是怎样形成的？(1)；(2)。24．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？6(1)；(2)25．分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。26．求球面与平面的交线在面上的

4、投影的方程。27．求过，和三点的平面方程。28．求平面与面的夹角。29．分别按下列条件求平面方程(1)平行于面且经过点；(2)通过轴和点；(3)平行于轴且经过两点和。30．用对称式方程及参数式方程表示直线：。31．求直线与直线的夹角的余弦。32．求过点且与两平面和平行的直线方程。33．求直线与平面的夹角。34．确定直线和平面间的位置关系。(二)1．，和是设互不共线的三向量，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。2．设，，，证明、、三点共线。63．设有两个力，和，同时作用于一个点上，试求它们的合力的

5、大小和方向。4．设向量的两个方向余弦为，，又，求的坐标。5．设直线与三个坐标平面的交角分别为、、，求。6．证明。7．证明垂直于。8．已知三点，，，且，，，求(1)与的夹角；(2)在上的射影。9．试用向量证明直径所对的圆周是直角。10．设，，问与有怎样的关系，能使与轴垂直？11．已知椭球面的三轴分别与三坐标轴重合，且通过椭圆，与点，求这个椭球面的方程。12．画出双曲抛物面与单叶双曲面的图形。13．求出球面与旋转抛物面的交线。14．将曲线的一般方程化为参数方程。15．求平行于向量且与球面相切的直线所生成的柱面方程。16．求过点而与直线，6

6、平行的平面方程。17．求点在平面上的投影。18．求点到直线的距离。(三)第1题1．设一直线上三点、、满足()，是空间任意一点，求证：。2．证明第二分配律成立。3．设，，为单位向量，且满足，求。4．在杠杆上支点的一侧与点的距离为的点处，有一与成角的力作用着；在的另一侧与点的距离的点处，有一与成角的力作用着（如图），问、、、、、符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？5．试用向量证明不等式：，其中、、、、、为任意实数，并指出等号成立的条件。6．求螺旋线，在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。7．求上半球，与圆柱体()的公共部分在面和面上的投影

7、。8．作出曲面与平面，三坐标面所围的立体，在第一卦限部分的立体图形。9．设直线：，在平面上，而平面与曲面6相切于，求，的值。10．求通过点且与两直线：，：都相交的直线方程。6