第七章 空间解析几何与向量代数

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1、第七章空间解析几何与向量代数向量是解决工程技术问题的重要工具，空间直角坐标系是研究向量和多元函数的基础。本章在建立了空间直角坐标系的基础上研究向量的概念、运算及其应用，并以向量为工具来讨论空间的直线和平面，最后介绍空间曲线的几种特殊的二次曲面。§7.1空间直角坐标系与向量的概念在平面直角坐标系内，我们将平面上的任意点P与有序实数对建立起一一对应关系，由此将平面曲线与方程建立了一一对应关系。为建立空间图形与方程的联系，我们需要建立空间的点与有序数组间的一一对应关系，这种对应关系可以通过建立空间直角坐标系来实现。一空间直角坐标系1空间直角坐标系的建立在空间，任取一点O,经过点O作三条

2、相互垂直的直线，它们都以O为原点，一般具有相同的单位长度；分别取它们的正向，使它们成为三条数轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴。三个坐标轴正向一般构成右手系，即伸开右手，让拇指和四指垂直，当右手四指从轴正向以逆时针旋转90°角转向轴正向是，大拇指的指向就是轴的正向（如图7-1）。这样就构成了空间直角坐标系，点O称为坐标原点。在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面。例如：由轴、轴确定的坐标平面为平面，同理还有平面、平面。三个坐标面把空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限，由上到下，按逆时针方向可分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。2空

3、间上点的坐标设M为空间上一点，过点M分别作轴，轴，轴的垂线，垂足依次为P，Q，R(如图7-2),这三点在轴、轴、轴上的坐标依次为，，，则空间上的一点M就唯一确定了一个有序数组；反之，若给定一组有序数组，，，且它们分别在轴，轴，轴上依次对应P，Q，R点，过P，Q，R分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面的交点就是有序数组所确定的唯一点M.这样，空间一点就与一个有序数组之间建立了一一对应关系，有序数组称为点M的坐标，记为M。，，分别称为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。显然，原点O的坐标为22，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0.例如：在轴上的点均有；在平面

4、上均有。3空间两点间的距离公式设空间两点求它们之间的距离,则d==特别地，点到原点的距离d==例1求顶点为,,的三角形各边的长度。解：由空间两点间的距离公式知：====7==二向量概念及其线性运算1.向量的概念在自然科学和工程技术中经常遇到两类量：一类是只有大小的量。例如时间、质量、长度、面积等，这类量称为数量（或标量）；另一类是既有大小又有方向的量，如力、速度、加速度、位移等，这类量称为向量（或矢量）。AB在数学上，常用有向线段表示向量，有向线段的长度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，以A为起点，B为终点的有向线段可表示为向量,也可以用黑体小写字母，，表示（如图所示）向

5、量的大小称为向量的模，记作（或）；模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为零向量，记作，规定其方向为任意的。数学中，一般只关心向量的大小和方向，不关心其位置，即若两个向量和的模相等，方向相同，则称这两个向量相等，记作=，也就是说，经过平行移动后能够完全复合的向量是相等的，我们称这样的向量为自由向量，本书所讨论的向量均为自由向量。我们规定：一切零向量都相等。2.向量的线性运算（1）向量的加法：定义1设已知两个向量，，以空间任意一点O为始点作=，=22,以OA,OB为边作平行四边形OACB,则从始点到对角顶点的向量为向量与的和向量。这种求向量的方法称为向量加法的平行四边形法则。AC

6、BO+求向量的和还有另一种方法，由于向量可以平移，从空间一点O引向量=，从的终点B引向量=，则=+，这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。CBO+三角形法则可以推广到任意有限个向量相加的情况。向量加法运算律1）交换律+=+2）结合律（+）+=+(+)(2)数乘向量定义2设是向量，为一实数，则与的乘积仍是一个向量，且1）2)的方向223）当=0或=时，规定=.数乘向量的运算律（）交换律=结合律==分配律=+（+）=+向量的加法及数乘向量统称为向量的线性运算.（3）向量的减法定义3若向量与，长度相等，方向相反，称为的负向量，记为-，由向量与数乘向量知，-=（-）引入负向量后，我

7、们可以规定两向量的减法，即与的差规定为-=+（-）向量的减法可按三角形法则进行，对已知向量、，从任意点O为始点，作=,=，则的终点B到的终点A的向量=-3向量的坐标表示（1）向径及其坐标表示在空间直角坐标系中，起点在原点O,终点为P的向量,称为点P的向径，记作或。沿x轴，y轴，z轴正向分别取正向同向的单位向量称为基本向量，分别记，，。设向量的起点在坐标原点O,终点为P()，则向量=，=，22=，由向量加法，=+=（+）+=++，（如图所示）简记为=（1）任意向量的坐标表示设则以为