2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、双曲线及其标准方程[A组　学业达标]1．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)A．双曲线的一支　　B．圆C．抛物线D．双曲线解析：设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得

2、OO1

3、＝r＋1，

4、OO2

5、＝r＋2，∴

6、OO2

7、－

8、OO1

9、＝r＋2－r－1＝1<

10、O1O2

11、＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．答案：A2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x≤－3)

12、D.－＝1(x≥3)解析：由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．答案：D3．k>9是方程＋＝1表示双曲线的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．∴k>9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：B4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)A.B．1或－2C．1或D．1解析：依题意：解得a＝1.答案：D5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若

13、

14、PF1

15、∶

16、PF2

17、＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　)A．6B．12C．12D．24解析：由已知易得2a＝2，由双曲线的定义及已知条件得，

18、PF1

19、－

20、PF2

21、＝2，又

22、PF1

23、∶

24、PF2

25、＝3∶2，∴

26、PF1

27、＝6，

28、PF2

29、＝4.由

30、F1F2

31、＝2c＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.答案：C6．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线的标准方程是________．解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴∴答案：－＝17

32、．已知定点A，B且

33、AB

34、＝4，动点P满足

35、PA

36、－

37、PB

38、＝3，则

39、PA

40、的最小值为________．解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，

41、PA

42、最小，最小值为a＋c＝＋2＝.答案：8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解析：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(

43、0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.9．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2是双曲线的左、右焦点，且

44、MF1

45、＋

46、MF2

47、＝6，试判断△MF1F2的形状．解析：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)不妨设M点在右支上，则有

48、MF1

49、－

50、MF2

51、＝

52、2，又

53、MF1

54、＋

55、MF2

56、＝6，故解得

57、MF1

58、＝4，

59、MF2

60、＝2，又

61、F1F2

62、＝2，因此在△MF1F2中，

63、MF1

64、边最长，而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角．故△MF1F2为钝角三角形．[B组　能力提升]10．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(1,2)解析：由题意知，双曲线的标准形式为－＝1.∴解得k>2.又c2＝k－1＋

65、k

66、－2＝2k－3>1，∴c>1.答案：A11．已知双曲线C的中心在原点O，焦点F(－2，0)，点A为左支上一点，满足

67、OA

68、＝

69、OF

70、且

71、AF

72、

73、＝4，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：如图，由题意可得c＝2，设右焦点为F′，由

74、OA

75、＝

76、OF

77、＝

78、OF′

79、知，∠AFF′＝∠FAO，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′＋∠OF′A＝∠FAO＋∠OAF′.由∠AFF′＋∠OF′A＋∠FAO＋∠OAF′＝180°知，∠FAO＋∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′.在Rt△AFF′中，由勾股定理，得

80、AF′

81、＝＝8，由双曲线的定义，得

82、AF′

83、－

84、AF

85、＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，