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《特级教师高考数学首轮复习第11讲-指数、指数函数.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、知识结构二、重点叙述1.指数①根式:Ⅰ、定义:一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1且n∈N*。Ⅱ、n次方根性质:①当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,这两个数互为相反数,正的n次方根用表示,负的n次方根用表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a>0)。如果a是负数,负数没有偶次方根。②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示。即:n为奇数,=a.n为偶数,=
2、a
3、=②分数指数幂:Ⅰ、定义:正数的正分数指数幂的意义是:(
4、a>0,m、n∈N*,n>1)。负整数指数幂的意义是:(a≠0),n∈N*)。正数的负分数指数幂的意义是:(a>0,m、n∈N*,n>1)。零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义。Ⅱ、运算性质:(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(3)(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)。③无理数指数幂:Ⅰ、定义:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数。Ⅱ、运算性质:(1)ar·as=
5、ar+s(a>0,r,s都是无理数);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数);(3)(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数)。④实数指数幂:Ⅰ、定义:指数幂从正整数指数幂扩充到整数指数幂、有理数指数幂、无理数指数幂,从而不断扩充到了实数范围,形成实数指数幂。其指数幂的意义仍按相关规定。Ⅱ、运算性质:(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)。2.指数函数①定义:一
6、般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R。②图象: 3、应用①指数幂的运算;②指数函数图象与性质的应用;③指数函数的综合应用。三、案例分析案例1：计算（1）；（2）。【答案】(1);(2)。分析：按照指数幂的运算性质进行运算，仍然遵循先乘除，后加减，遇到括号先算的原则。(1)(2) 案例2：已知函数。（1）作函数图象；（2）写出函数的单调区间；（3）求函数的值域与最值。 【答案】函数是关于直线对称的分段函数，先作当时函数的图象，再用对称的方法得函数的
7、图象，函数的图象是指数函数的图象向左平移1个单位而得到，于是可写出函数的单调区间，求得函数的值域和最值。也可以利用函数的单调性求得函数的值域与最值。解：（1）如图，作函数图象：（2）函数的单调区间：是递增区间；是递减区间。（3）由（2）知，函数在处取得最大值1，无最小值，其值域是。案例3：（1）已知对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。（2）已知函数在区间[-1，1]上的最大值为14，求实数a的值。【答案】 （1）由底，则指数函数的单调递减，所以对任意，恒成立，转化为不等式对任意恒成立，即二次不
8、等式对任意恒成立，于是由可求得实数的取值范围。这是根据指数函数的单调性实施从指数不等式到二次不等式的转化。（2）这是指数函数的复合函数，自然用换元法。令，把函数转化为关于t的二次函数，通过求二次函数在闭区间上的最大值为14，解得实数a的值。那么，什么是关于t的二次函数的闭区间呢？值得思考。（1）∵底，∴指数函数在上是减函数，∴对于任意的，恒成立恒成立恒成立，当且仅当。所以，所求实数的取值范围是。（2）设，则函数，显然，函数在区间上是单调递增的。而x∈[-1,1]，①若a＞1，则a-1≤t≤a，∴，
9、解得a=3或-5(-5舍)；②若0＜a＜1,则a≤t≤a-1,∴，解得。所以实数的值是。 案例4：已知函数，（a＞0，a≠1）。（1）求函数的值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间。【答案】题设函数是的复合函数，一般是用换元的方法解决函数的值域和单调性的问题。令，则函数可化为，对中间变量而言，是上的增函数，可求得值域；对自变量而言是复合函数，利用复合函数的单调性求函数的单调区间。判断函数的奇偶性用计算或是否为0的方法比较简便。（1）令，则函数可化为。显然，函数在上单调递增，所以，求得
10、函数值域是。（2）由，即，所以函数在上是奇函数。（3）∵函数在上单调递增，①当时，在上是减函数，所以函数在上是减函数；②当时，在上是增函数，所以函数在上是增函数。上述是用复合函数单调性的方法求函数的单调区间，也可以用函数单调性定义的方法求函数的单调区间。另解：设函数，且，则，①当时，，则，∴，即，所以函数在上是减函数；②当时，，则，∴，即，所以函数在上是增函数。案例5：（2009天津·理20第2小题）已知函数其中（2）当时，求函数的单调区间与极值。分析：函数是含的初等函数，用导数方
