类比推理对于数学发现能力的培养.pdf

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1、类比推理对于数学发现能力的培养张宗涛哈尔滨师范大学黑龙江哈尔滨150025【摘要】随着时代的发展和进步，类比推理是一个很重要的思维方法。在数学知识的学习中，学生可以通过对数学问题的观察、分析、综合，然后运用“类比”的方法，系统地复习，不断地回忆以前所学的知识，对新学知识通过他的学习经验比较，对知识的概念、定理的理解将会有很大的益处。【关键词】类比推理数学分析能力中图分类号：G427文献标识码：A文章编号：1009—4067(2014)19—138—02一、问题的提出也是相等的，通过三角形内部任一点把原三角形分为三个小三

2、角形，利用类比推理在探索真理、发现真理等科学创造中发挥着不可忽视的作面积和相加等于原三角形面积之和，消去边长，即得出高之间的关系。用。例如莱特兄弟从发现鸟拥有翅膀可以飞上蓝天到飞机的发明和制造，证明：已知AABC，在其内部任意一点过点P作AB，BC，AC从瓦特发现水开扑盖到蒸汽机的发明，从鱼儿潜水到潜水艇的发明等等的高。垂足分别是，都是利用类比的基础上创造出来的。然而，这种思维方法除了在科学创求证：PE+PF+PG为一个定值。造中发挥重要作用之外，在数学学习中，如果我们注意培养学生运用类证明：如图(一)，^比的方法去发

3、现并解决问题，将对拓展学生的思维有很大的好处。在本文中将主要谈一谈类比推理在数学中应用。二、在概念、法则、公式、原理教学中运用“类比”类比推理的形式比较简单，在数学发现中有广泛的应用。比如，数与式之间，平面与立体几何之间，一元与二元之间，相等与不等之间，有限与无限之间，数、式、图之间等等。有不少概念、法则、公式、原(一)理都可以利用类比。下面介绍一些常见的例子(为方便记，用符号表连结PA，PB，PC．++=设三角形ABC的边长示类比)为a，高为h．l、线(一维空间)平面(二维空间)据三角形面积公式，上式可表示成2、三角

4、形(面数最少的多边形)一四面体(面数最少的四面体)ll11tah2+ah3、对顶角一对棱二面角4、圆球1‘‘一5、面积体积．a≠026、整数”整式‘．．h1+h2+h3=h．7、分数分式这就表明，正三角形内任意点到各边的距离之和为定值。8、对顶角相等对棱二面角相等这个定值就是正三角形的高。9、数的运算集合的运算思考：能否把上述解题方法类比到正四面体呢?不妨尝试一下。lO、三角形的面积一棱锥的体积上题中是通过面积为中介，则正四面体就应以体积为中介。定义：类比推理是以两个对象具有相同或相似的属性，其中一个对已知：正四面体A

5、—BCD，P为其内任意点。象还有另外的某些属性作为前提推出一个对象也有这些相同或相类似的求证：P到各边的距离值和为定值。思维形式。例如代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形证明(如图二)：设P为正四面体A—BCD内的任一点，连结、式推出分式可以如同分数一样进行化简和运算。又如多项式的整除性相PB、PC和PD，则：一+一∞+一=一类比，立体几何中面与面关系同平面几何中线与线之间的关系相类比。设正四面体各个面的面积为高为h下面举几个例子来具体说明一下：棱锥P—BCD，P—ACD，P—ABC，P—ABC的高(即点P

6、到各个举例一：教师在讲数学归纳法之前，先举一个实例。将全班同学从1面的距离)分别为hl、h2、h3、h，开始按自然数顺序编号，要求每一个学生在接到通知时，保证把通知传根据三棱锥的体积公式，便得到：给下一个同学。问老师要想全班每一个同学发一个开学通知，该怎么做?答：只需发通知给第一个同学，然后由第一个同学依次通知给下一名同Sh，++吉+=，学，按照这样的顺序依次往下发通知，最后每名同学都能得到开学通知。··二≠0接着老师再在讲台上依次竖立一排课本，往后推倒其中一本(如第三本)．．3后面的书全倒了，让学生思考：为什么第一本

7、不倒?后面的书没有推为-什么就倒了?接着以此“类比”导出数学归纳法原理【”。．．1十2+3+4=h即：正四面体内任一点到个面的距离之和为一定值，这个定值是正举例二：在学习二面角的概念时，采用类推法，通过平面几何中直四面体的高。线和直线夹角，类推出空间平面与平面夹角。平面角二面角定义；从平面内一点出发的两条射从空间以直线出发的两个半平面所组成缝所组成的图形．的图形。构成：射线一点(顶点)一射线半平面一线(棱)一半平面表示法；O二面角盘一一口举例三：试证正三角形内部任意一点到各边的距离之和为一定值。分析：不妨通过利用三角形

8、的面积来证明。因为是正三角形，即三边138中国电子商务．．2014·19从以上可以看出，教师在数学教学过程中，应当有意识地引导学生(1)求上底面中心Dl与平面C。BD的距离；自觉地运用类比推理这种逻辑方法，对某些数学知识或数学命题进行大(2)求BiD与平面C-BD的距离；胆的联想或猜想，就可以引导学生由浅入深，由底层次向高层次发展