高数之定积分 (3).pdf

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1、§5．1定积分概念§53定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间[ab]上连续函数x(t)满足条件(1)()a()b(2)(t)在[](或[])上具有连续导数且其值域不越出[ab]则有bf(x)dxf[(t)](t)dta这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知f(x)在区间[ab]上是连续因而是可积的f[(t)](t)在区间[](或[])上也是连续的因而是可积的假设F(x)是f(x)的一个原函数则bf(x)dxF(b)F(a)a另一方面因为{F[(t)]}F[(t)](t)f[(t)](t)所以F[(t)]是f[(t)](t)的一个原函数从而f[(t)](t)dtF

2、[()]F[()]F(b)F(a)因此bf(x)dxf[(t)](t)dtaaa例1计算2x2dx(a>0)0解aa2x2dx令xasint2acostacostdt00a2a22cos2tdt2(1cos2t)dt020a211[tsin2t]2a22204提示a2x2a2a2sin2tacostdxacost当x0时t0当xa时t2例2计算2cos5xsinxdx0解令tcosx则2cos5xsinxdx2cos5xdcosx00令cosxt0t11115dtt5dt[t6]10606提示当x0时t1当x时t021§5．1定积分概念或2cos5xsinxdx2cos5xdcosx00111

3、1[cos6x]2cos6cos60606266例3计算sin3xsin5xdx03解sin3xsin5xdxsin2x

4、cosx

5、dx00332sin2xcosxdxsin2xcosxdx02332sin2xdsinxsin2xdsinx022525224[sin2x]2[sin2x]()55555023提示sin3xsin5xsin3x(1sin2x)sin2x

6、cosx

7、在[0,]上

8、cosx

9、cosx在[,]上

10、cosx

11、cosx224x2例4计算dx02x1t212解4x2dx令2x1t32tdt13(t23)dt02x11t21113127122[t33t][(9)(3)]2312

12、333t21提示xdxtdt当x0时t1当x4时t32例5证明若f(x)在[aa]上连续且为偶函数则af(x)dx2af(x)dxa0af(x)dx0f(x)dxaf(x)dx证明因为aa00f(x)dx令xt0f(t)dtaf(t)dtaf(x)dx而aa00af(x)dxaf(x)dxaf(x)dx所以a002§5．1定积分概念a[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx2af(x)dx0a0讨论若f(x)在[aa]上连续且为奇函数问af(x)dx？a提示若f(x)为奇函数则f(x)f(x)0从而af(x)dxa[f(x)f(x)]dx0a0例6若f(x)在[01]上连续证明(1)2f(si

13、nx)dx2f(cosx)dx00(2)xf(sinx)dxf(sinx)dx020证明(1)令xt则202f(sinx)dxf[sin(t)]dt0222f[sin(t)]dt2f(cosx)dx020(2)令xt则xf(sinx)dx0(t)f[sin(t)]dt0t)]dt(t)f[sin((t)f(sint)dt00f(sint)dttf(sint)dt00f(sinx)dxxf(sinx)dx00所以xf(sixn)dxf(sixn)dx020xex2x04例7设函数f(x)1计算f(x2)dx1x011cosx解设x2t则4f(x2)dx2f(t)dt01dt2tet2dt1111

14、cost0[tant]0[1et2]2tan11e4121202223§5．1定积分概念提示设x2t则dxdt当x1时t1当x4时t2二、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[ab]上具有连续导数u(x)、v(x)由(uv)uvuv得uvuvuv等式两端在区间[ab]上积分得bbbbuvdx[uv]buvdx或udv[uv]bvduaaaaaa这就是定积分的分部积分公式分部积分过程bbbbuvdxudv[uv]bvdu[uv]buvdxaaaaaa1例1计算2arcsinxdx0111解2arcsinxdx[xarcsinx]22xdarcsinx00011x2dx2601x21112d(

15、1x2)12201x213[1x2]211201221e例2计算xdx0解令xt则1e1xdx2ettdt001tde2t02[tet]121etdt002e2[et]120例3设I2sinnxdx证明n0n1n331(1)当n为正偶数时Innn2422n1n342(2)当n为大于1的正奇数时Innn2534§5．1定积分概念证明I2sinnxdx2sinn1xdcosxn00[cosxsinn1