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1、《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：班级学号：姓名：计算机科学与工程系实验一插值方法一.实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的插值算法，并进行可视化显示。二.实验要求用Matlab软件实现Lagrange插值、分段线性插值、三次Hermite插值、Aitken逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。三.实验内容1.实验题目i0123x0.460470.480.49y0.48
2、465550.49374520.50274980.5116683（1）已知概率积分的数据表构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange插值公式，输出公式及其图形，并计算x=0.472时的积分值。（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x=3.3152时的函数值。（3）仿照附录C中“文件1.2逐步插值”程序（Neville算法，课本227页）编写相应的Aitken逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分在x=0.462的值，并比较它们
3、的结果。x0.30.40.50.60.7y0.298500.396460.493110.588130.68122（4）运行C中“文件1.3分段三次Hermite插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据2.设计思想（1）Lagrange插值：Lagrange具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。事实上，在逻辑上表现为二重循环，内循环（j循环）累乘求得系数，然后再通过外循环（i循环）累加得出插值结果y。（2）分段线性插值：分段插值是将被插值函数逐步多项式化。分段插值的处理过程分两步，将区间分成几个子段，并在每
4、个子段上构造插值多项式装配在一起，作为整个区间的插值函数。在分化的每个节点给出数据，连接相邻节点得一折线，该折线函数可以视作插值问题的解。（3）Neville插值：Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。Atiken逐步插值：Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一
5、步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。（4）Hermite插值：Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。3.对应程序（1）Lagrange插值function[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)%X,Y是已知的差值点坐标点%x0是插值点%y0是Lagrange多项式在x0处的值%N是Lagrange插值函数的权
6、系数m=length(X);N=zeros(m,1);y0=0;fori=1:mN(i)=1;forj=1:mifj~=iN(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j));endendy0=y0+Y(i)*N(i);end（2）分段插值symsfx;f=1/(1+x^2);N=input('请输入插值节点数N=');X=-5:10/N:5;Y=zeros(1,length(X));fori=1:(N+1)x=X(i);Y(i)=eval(f);endM=-5:0.01:5;y=zeros(1,leng
7、th(M));n=1;fori=1:Nforx=-5:0.01:5ifx=X(i)y(n)=Y(i)*(x-X(i+1))/(X(i)-X(i+1))+Y(i+1)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i));n=n+1;endendendezplot(f,[-5,5])holdonx=-5:0.01:5;plot(x,y,'r');（3）Neville逐步插值functiony0=Neville_eval(X,Y,x0)%X,Y是已知的插值点的坐标%x0是插值点%y0是多项式在x0处的值m
8、=length(X);P=zeros(m,1);P1=zeros(m,1);P=Y;fori=1:mP1=P;k=1;forj=i+1:mk=k+1;P(j)=P1(j-1)+(P1(j)-P1(j-1))*(x0-X(k-1))/(X(j)-X(k-1));endifabs(P(m)-P(m-1))<10^-6;y0=P(m);return;endendy
