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1、数学实验 插值方法 导言【请选择合适的字体阅读：小大】作者：张建生改…文章来源：本站原创点击数：530更新时间：2006-12-4 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi),i=0,1,…,n,...揭示出自变量x与因变量y之间的关系. 一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。 拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小、较好地反映观测数据
2、的近似函数，并不保证或追求所得到的函数一定满足yi=f(xi)。侧重于从整体上把握问题，拟合的方法将在下一章讨论。 插值则要求函数在每个观测点处一定要满足yi=f(xi).，本章主要介绍插值方法。 插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均。插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现象的统计分析等等。本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何利用MATLAB软件作插值计算
3、；针对实际问题，进行建模、求解与分析；最后给出实验题目。数学实验 插值方法 引例【请选择合适的字体阅读：小大】作者：张建生改…文章来源：本站原创点击数：769更新时间：2006-12-4 4.2.1 引例1:函数查表问题 标准正态分布函数值Φ(2.3456789)等于多少？ 一般是通过查表的方法.先对自变量作近似,2.3456789≈2.35,再查表得到Φ(2.35)=0.99061,所以(2.3456789)≈Φ(2.35)=0.99061. 在对精度要求较高时,这种处理方法可能受到质疑,2.3456789介于2.34与2.35之间,不适于用Φ(2.35)作为近似值吗.
4、于是改进,函数值取二者的中点,即 Φ(2.3456789)≈[(Φ(2.34)+Φ(2.35))]/2=0.990485 比起前面的处理,此结果应该更好一些.但是精度究竟如何呢？如果需要更精确的结果,注意到能够利用的信息只有标准正态分布函数值表. 上面的问题变为利用一个表格给出的函数值，计算表格中未给出的函数值。这实质上就是插值问题。 4.2.2引例2:绘制地图 你曾使用过的地图最初从何而来？世界上第一张地图是如何绘制的？ 对某一地区国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图？设想已经得到了一系列关于某地区地理边界的测量数据，边界
5、点在地球上的经纬度属于球面坐标，对于不是太大的一个地区可以近似为平面坐标(xn,yn).剩下来的问题就是根据平面上一系列点，绘制一条封闭的平面曲线（地图的边界线）。这也是一个插值问题 最简单的方法是：首先在平面上画出所有这些点(称为节点，有序)，然后，用线段依次将相邻的节点两两连结起来，得到一条由折线段构成的封闭曲线——地图的边界！这种方法实质上就是用两点间的直线段近似地代替未知的曲线段，也就是对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替，这种方法称为分段线性插值。 在边界上的测量点不是太多的情况下，绘制出来的地图效果可能不是很好。通过增大测量点的数量，问题可以得到改善。但是
6、这样的边界是折线，一般是不光滑的，这与实际使用的地图有较大差异。并且光滑性的要求在其他某些实际问题中非常重要，例如飞机、轮船等的外形曲线设计就需要足够的光滑程度。 如何改进地图边界的绘制呢？可以考虑在每两点之间，采用已知类型的曲线段连接，并根据实际情况，加上衔接点处的光滑性要求。例如采用三次（多项式）曲线，这就给出了所谓的样条曲线和三次样条插值。 它们的表达式（分段函数，并且是分很多段）都很复杂。究竟这两种方法优劣如何？下面就来具体介绍这些插值方法上面提到的两种插值数学实验 MATLAB插值计算作者：张建生改…文章来源：本站原创点击数：5384更新时间：2006-12-4
7、计算插值的软件很多,这里我们只介绍如何用MATLAB做一维插值和高维插值.4.4.1 一维插值 MATLAB中的插值函数为interp1(),其调用格式为 yi=interp1(x,y,xi,'method')其中x,y为观测数据点,xi为插值(自变量)向量,yi为xi的插值结果(函数值).'method'表示采用的插值方法.MATLAB提供的插值方法有几种:'nearest'最邻近插值;'linear'线性插值;'spline
