加试模拟训题（63）.doc

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1、加试模拟训练题（63）1．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.2. 若x为正实数，n为正整数．证明：其中[t]表示不超过t的最大整数．3.在黑板上写下n个数，每次允许擦掉任意两个数，例如a和b，换成(a＋b)/4．这样的运算重复n－1次，结果在黑板上只剩下一个数．证明：若开始时在黑板上写的是n个1，则最后留在黑板上的数不小于1/n．4.已知p为大于3的素数.且.（a,b）=1，证明。加试模拟训练题（63）1．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=

2、BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有∠AIB=90°+∠C=105°，∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.2. 若x为正

3、实数，n为正整数．证明：其中[t]表示不超过t的最大整数．【题说】第十届（1981年）美国数学奥林匹克题5．【证】用数学归纳法．当n=1，2时，（1）显然成立．假设（1）对n≤k－1均成立．kxk=kxk-1+[kx]=（k－1）xk-1+xk-1+[kx]                   （2）（k-1）xk-1=（k-2）xk-2+xk-2+[（k-1）x]               （3）…2x2=x1+x1+[2x]                                   （k）将（2）至（k）式相加，得kxk=xk-1+xk-2+…+x1+x1+[kx

4、]+[（k－1）x]+…+[2x]因此，由归纳假定，kxk≤[kx]+2（[（k－1）x]+[（k－2）x]+…+[x]）但是[（k－m）x]+[mx]≤[（k－m）x+mx]（m＜k），所以kxk≤[kx]+（[（k－1）x）]+[x]）+…+（[x]+[（k－1）x]）≤k[kx]即xk≤[kx]．此即所欲证之（1）式．3.在黑板上写下n个数，每次允许擦掉任意两个数，例如a和b，换成(a＋b)/4．这样的运算重复n－1次，结果在黑板上只剩下一个数．证明：若开始时在黑板上写的是n个1，则最后留在黑板上的数不小于1/n．【题说】第二十五届(1991年)全苏数学奥林匹克九年级题2．

5、【解】易知所以经过一次运算后，黑板上各数的倒数和不大于运算前的倒数和．最4.已知p为大于3的素数.且.（a,b）=1，证明。.证明对于不超过p-1的自然数k，由于（k,p）=1，所以存在唯一的不超过p-1的自然数x，满足。而且，当k=1或p-1有x=k=1或p-1。当时，有，故当k取遍1，2，……，p-1时，x也取遍1，2，……，p-1。因为因为p是大于3的素数，所以p-1不小于4，所以（p-1）!含有因数6，从而，即，因为，所以，从而