加试模拟训题（34）.doc

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1、加试模拟训练题（34）1、双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形，证明对这样的四边形，两个圆心与对角线交点共线．2、已知,且,求证:3、有17位科学家，其中每一人和其他所有人通信，他们通信中只讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目．求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目．4．求不定方程(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)3=1－xyz的所有整数解。加试模拟训练题（34）1、双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形，证明对这样的四边形，两个圆心与对角线交点共线．【题说】第三十届(1989年)IMO预选

2、题14．本题由印度提供．【证】设四边形ABCD为双心四边形，其外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，对角线交点为K，不难推出下列三个引理：(1)对圆外切四边形ABCD，设切点为P、Q、R、S，则PR、QS的交点就是对角线AC，BD的交点K．(2)若K为⊙I内一定点，则对K点张直角的弦EF的中点的轨迹是一个圆，圆心为IK的中点M．(3)在(1)中若四边形ABCD有外接圆，则PR⊥QS．由(3)，PQ、QR、RS、SP对K点张直角，因而它们的中点A'、B'、C'、D'均在以IK的中点M为圆心的圆上．由于IA与PQ相交于A'，所以A'就是以

3、I为反演中心，⊙I为反演圆时，A经反演所得的像，同样B'、C'、D'分别为B、C、D的像，因此⊙O经过反演成为A'B'C'D'的外接圆，从而O与这圆的圆心M，反演中心I共线，所以O在直线IM上，即O、M、K共线，从而问题得证．2、已知,且,求证:分析与证明:为书写简便,首先令;则原不等式可化为:结合条件知只需证齐次不等式:.因为==.所以原不等式得证.3、有17位科学家，其中每一人和其他所有人通信，他们通信中只讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目．求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目．【题说】第六届(1964年

4、)国际数学奥林匹克题4．本题由匈牙利提供．【证】将科学家对应于点，两科学家之间讨论的题目对应两点连线的颜色，原题转化为：17个点两两连边，边用红、蓝、白之一染色，每边一色．证明必存在同色三角形．A1点引出的16条边，根据抽屉原则，其中至少有六条同色．不妨设六条边同为红色，另一端点分别为A2，A3，…，A4．再考虑这六个点两两连线的颜色，如果其中有一条为红色，则存在红色三角形；如果其中任一边都不是红色，那么只能是蓝、白两色．于是由A2引出的A2A3，…，A2A7、五条边至少有三条同色．不妨设A2A3，A2A4，A2A5同为蓝色，考

5、虑△A3A4A5的三边，若有一边为蓝，则存在蓝色三角形；若任一边都是白色，则△A3A4A5为白色三角形，命题成立．4．求不定方程(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)3=1－xyz的所有整数解。解：作代换，设x+y=u，y+z=v，z+x=w，则方程变形为：4uvw+(u+v+w)3=8－(u－v+w)(u+v－w)(－u+v+w)，即4(u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2)+8uvw=8，即u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2+2uvw=2。故(u+v)(v+w)(w+u)=2.于是：（u+v，v

6、+w，w+u）=（1，1，2），（－1，－1，2），（－2，－1，1）及对称的情形，分别求解得：（u，v，w）=（1，0，1），（1，－2，1），（－1，0，2），故（x，y，z）=(1，0，0)，(2，－1，－1)。故整数解为(x，y，z)=(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(2,-1,-1)，(-1,2,-1)，(-1,-1,2)共6组解。