加试模拟训题（81）.doc

《加试模拟训题（81）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、加试模拟训练题（81）1在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分∠CFD。2.设｛xn｝、｛yn｝为如下定义的两个整数列：x0=1，x1=1，xn+1=xn+2xn-1    （n=1，2，3，…）y0=1，y1=7，yn+1=2yn+3yn-1     （n=1，2，3，…）于是这两个数列的前几项是：         x：1，1，3，5，11，21，…                y：1，7，17，55，161，487，…证明：除了“1”以外，两个

2、数列中不再有其他相同的数．3.证明：对n≥4，每一个有外接圆的四边形，总可以划分成n个都有外接圆的四边形．4.设[x]表示不超过x的最大整数．试对任意正整数n计算和加试模拟训练题（81）1在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分∠CFD。证如图，设AD与BC相交于点P，用O表示半圆T的圆心。过P作PH丄l于H，连OD，OC，OP。由题意知Rt△OAD∽Rt△PAH，于是有.类似地，Rt△OCB∽Rt△PHB，则有.由CO=DO，有，从而.由塞瓦定理的逆

3、定理知三条直线AC，BD，PH相交于一点，即E在PH上，点H与F重合。因∠ODP=∠OCP=90°，所以O，D，C，P四点共圆，直径为OP.又∠PFC=90°，从而推得点F也在这个圆上，因此∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，所以EF平分∠CFD。2.设｛xn｝、｛yn｝为如下定义的两个整数列：x0=1，x1=1，xn+1=xn+2xn-1    （n=1，2，3，…）y0=1，y1=7，yn+1=2yn+3yn-1     （n=1，2，3，…）于是这两个数列的前几项是：         x：1，1，3，5，11，21，…                y：1，7，17，55，

4、161，487，…证明：除了“1”以外，两个数列中不再有其他相同的数．【题说】第二届（1973年）美国数学奥林匹克题2．【证】用数学归纳法证明．｛xn｝从第3项起，奇数项被8除余3，偶数项被8除余5．当n=2，3时，xn=3，5，结论成立．假设n≤k（k＞3）时结论成立，则当n=k+1时，xk+1=xk+2xk-1=（xk+xk-1）+xk-1因（xk+xk-1）被8除余数恰为0，故xk+1与xk-1被8除后，余数相同；而（k+1）与（k-1）奇偶相同．同法可证｛yn｝从第2项起，奇数项被8除余1，偶数项被8除余7．综上所述，除“1”外，二数列中没有别的数相同． 3.证明：对n≥4，

5、每一个有外接圆的四边形，总可以划分成n个都有外接圆的四边形．【题说】第十四届(1972年)国际数学奥林匹克题2．本题由荷兰提供．【证】如果四边形是等腰梯形，我们可以用平行于底边的线分割成任意多个等腰梯形，因任一等腰梯形都有外接圆，故命题对等腰梯形总是成立的．以下设圆内接四边形ABCD不是等腰梯形．不妨设∠A≥∠C，∠D≥∠B．由于对角互补，于是∠A≥∠B，∠D≥∠C．作∠BAP＝∠B，∠CDQ＝∠C，使P、Q在四边形内且PQ∥AD，再作PR∥AB，QS∥DC(如图)．因为∠B＋∠ADC＝∠C＋∠BAD＝180°所以∠DAP＝∠BAD－∠B＝∠ADC－∠C＝∠ADQ因此四边形APQD、

6、ABRP、CDQS都是等腰梯形，当然有外接圆．又∠QPR＋∠QSR＝∠BAD＋∠C＝180°从而四边形PQSR也有外接圆．这样，我们就把ABCD分成四个有外接圆的四边形，其中有三个是等腰梯形．对n＞4，我们可以用前述分割等腰梯形的方法进一步把ABCD分割成n个有外接圆的四边形．4.设[x]表示不超过x的最大整数．试对任意正整数n计算和【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题6．本题由英国提供．【解】令｛x｝=x-[x]，则从而利用（1）得