加试模拟训题（1）.doc

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1、加试模拟训练题（1）1、在△ABC中，O为外心，I为内心，AB＜AC，AB＜BC，D和E分别是边AC、BC上的点，且满足AD=AB=BE，求证：IO⊥DE。2、已知不等式对于恒成立，求a的取值范围。3．某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生（）来到体育馆观看球赛，全部学生总数为，看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排.问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下？4．求出所有的正整数对，使得是一个整数。1、在△ABC中，O为外心，I为内心，AB＜AC，AB＜BC，D和E分别是边AC、BC上的点，且满足AD=AB=BE，求证：IO⊥DE。证法一：

2、:连结OD、OE、ID和IE，要证IO⊥DE，只需证在任意四边形ABCD中，若对边平方和相等，则对角线互相垂直。此题正是应用这个结论而得证的，IDOE构成一个凹四边形，对角线为IO和DE。证法二:由于AB=AD可得AI⊥BD，延长AI交外接圆于M，连结OM，则OM⊥BC，故可发现△IOM和△DEB的对应边互相垂直。故只需证这两个三角形相似即可。2、已知不等式对于恒成立，求a的取值范围。解：设，则从而原不等式可化为：即，原不等式等价于不等式（1）（1）不等式恒成立等价于恒成立。从而只要。又容易知道在上递减，。所以。3．某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生（）来到体育馆观看球赛

3、，全部学生总数为，看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排.问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下？【解】让学生按学校顺次入坐，每排坐满后再转入下一排，共用10（=1990÷199）排．这时有的学校，学生已坐在同一排，有的学校，学生坐在两排．后一种学校至多9个．再增加两排坐位，每排可容纳5个学校．将上述（至多）9个学校移到这两排，则每个学校的学生都坐在同一排，因此，12排足够．另一方面，1990=34×58+18．如果58个学校各有34名学生，1个学校18名学生，那么每排至多安排34名学生的学校5所（34×6＞199），11排至多安排34名学

4、生的学校55所，所以11排是不够的．4．求出所有的正整数对，使得是一个整数。解：由于且，所以是对称的。不妨设。当时，则，从而＝2；当时，若时，则有，所以或3；若时，由于是一个整数，从而使得即，所以＜。又由于，，所以。所以，从而得或3，所以；综上知所有的为（2,2）,(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).