加试模拟训题（51）.doc

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1、加试模拟训练题（51）2.设a、b、c、d都是正实数，求证不等式3.在黑板上相继写下四个数：7956、3923、5857、9725．再接着写出这四个数的和除以10000所得的余数，然后擦去第一个数，对留下的四个数，再按前面的方法处理，如此继续下去，试问黑板上出现的四个数能否是1989、1989、1989、1989？4.试确定使整除的全部正整数对加试模拟训练题（51）2.设a、b、c、d都是正实数，求证不等式【题说】第三十四届（1993年）IMO预选题本题由美国提供．【证】由柯西不等式即又 （a-b）2+（a-c）2+（a-

2、d）2+（b-c）2+（b-d）2+（c-d）2≥0结合（1）、（2）即得结论．3.在黑板上相继写下四个数：7956、3923、5857、9725．再接着写出这四个数的和除以10000所得的余数，然后擦去第一个数，对留下的四个数，再按前面的方法处理，如此继续下去，试问黑板上出现的四个数能否是1989、1989、1989、1989？【题说】第十五届(1989年)全俄数学奥林匹克九年级题4．【解】由(1989、1989、1989、1989)出发，按所述方法处理，第5组为(7956、3923、5857、9725)．由于不同的四元

3、数组的组数≤1016，在(1016＋1)组中，必有两组相同．易知，每一组也唯一地确定其前一组，从而必有一组等于第1组，因此，黑板上可出现(1989、1989、1989、1989)，而且可出现无限多次．4.试确定使整除的全部正整数对解：（i）若则有：矛盾；（ii）若则，或当时，题设成为整除得，或当时，由于知：无整数解；（iii）若则其中此时除以商恰为k，题设条件满足。综上：所有满足条件的正整数对为