加试模拟训题（64）.doc

《加试模拟训题（64）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1·d垂+2·d外=3·d重.2. a1，a2，…，an是正整数1，2，…，n的任一排列．设f（n）是下述排列的个数，它们满足条件：（1）a1=1（2）

2、ai-ai+1

3、≤2，i=1，2，…，n-1试问f（1996）能否被3整除．3.P在坐标平面的格点上移动，当P的坐标为(a，b)时，若a＋b除以4所得的余数分别为0，1，2，3时，点P分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P0出发，按上述规则移动10次，P走到(0，10)点．求

4、P0的一切可能位置．4.设a,b为正整数，对任意的自然数n有，则a=b。加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1·d垂+2·d外=3·d重.分析：这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C.易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).①∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，同样可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·(sinB·sinC+

5、sinC·sinA+sinA·sinB)②∴=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.2. a1，a2，…，an是正整数1，2，…，n的任一排列．设f（n）是下述排列的个数，它们满足条件：（1）a1=1（2）

6、ai-ai+1

7、≤2，i=1，2，…，n-1试问f（1

8、996）能否被3整除．【题说】第二十八届（1996年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】我们把满足条件（1）、（2）的排列a1，a2，…，an称作n项正则排列．对于n个数的正则排列，由于a1=1，故a2=2或3．（1）若a2=2，则a2，a3，…，an（的各项减去1后）是n-1项的正则排列，其个数为f（n-1）．（2）若a2=3，a3=2，则必有a4=4，故a4，a5，…，an（的各项减去3后）是n-3项的正则排列，其个数为f（n-3）．（3）若a2=3，a4≥4．设ak+1是该排列中第一个出现的偶数，则前k个数应是1，3，5，…，（2k-1），ak+1是2k或（2k-2）．因此，ak与ak

9、+1是相邻整数．由条件（2），这排列在ak+1后面的各数，要么都小于它，要么都大于它．因为2在ak+1之后，故ak+2，…，an均比ak+1小．这只有一种可能，即先依递增次序排出所有≤n的正奇数，再接着依递减次序排出≤n的正偶数．综上所述，有递推关系f（n）=f（n-1）+f（n-3）+1，n≥4容易算出：f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=4，等等模3的余数依次是1，1，2，1，0，0，2，0，1，1，2，1，…以8为周期．因为1996≡4（mod8）所以f（1996）≡f（4）≡1（mod8）故f（1996）不能被3整除．3.P在坐标平面的格点上移动，当P的坐标为(a

10、，b)时，若a＋b除以4所得的余数分别为0，1，2，3时，点P分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P0出发，按上述规则移动10次，P走到(0，10)点．求P0的一切可能位置．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题4．【解】对于P＝(a，b)．记a＋b除以4的余数为m(P)，点移动的情况如下表所示设从P0出发，经n次移动后移动到Pn处．由上表知，当i≥1时，m(Pi)＝1或2，且Pi＋2＝Pi＋(－1，1)．所以P10＝P8＋(－1，1)＝…＝P2＋4(－1，1)即P2＝P10－4(－1，1)＝(4，6)P1＝(4，5)由上表即知P0＝(3，5)或(5，5)．4.设a,b为正整

11、数，对任意的自然数n有，则a=b。证明假设a与b不相等。考虑n=1有，则a