加试模拟训题（48）.doc

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1、加试模拟训练题（48）2. 证明：对于正数a、b、c，下述不等式成立：a3+b3+c3+3abc≥ab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c）            （1）3.圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻(只需有一侧相邻)的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子．这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色．1．如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？2．如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？4.试证：1．如果正整

2、数n使方程x3－3xy2+y3=n有一组整数解（x，y），那么这个方程至少有三组整数解；（2）当n=2891时，上述方程无整数解．从而x、y不能都被3整除，如果x、y中恰有一个被3整除，用（y－x，－x）或（－y，x－y）代替（x，y）．因此可以假定x、y都不被3整除，从而x3≡±1，y3≡±1，－3xy2≡±3（mod9）（2）不能成立，这表明当n=2891时，（1）无解．加试模拟训练题（48）2. 证明：对于正数a、b、c，下述不等式成立：a3+b3+c3+3abc≥ab（a+b）+bc（b+c）+

3、ac（a+c）            （1）【题说】第九届（1975年）全苏数学奥林匹克十年级题2．【证】不失一般性，可假定a≥b≥c．那末c（a－c）（b－c）≥0，（a－b）2（a+b-c）≥0从而                         c3+abc≥ac2+bc2                      （2）a3+b3+2abc≥ab（a+b）+a2c+b2c                       （3）（2）、（3）两式相加即得（1）式．3.圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人

4、按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻(只需有一侧相邻)的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子．这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色．1．如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？2．如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？【题说】第十一届(1977年)全苏数学奥林匹克八年级题4．【解】1．能．如图，棋子0表示最后留下的一枚黑子，在它两旁各放1枚白子并标以1，表示在倒数第1步(即第4步)被取去的白子．在每个1的两旁各放1枚黑子并标以2，表示在倒数第2步(

5、即第3步)被取去的黑子．在每个2与0的两旁各放1枚白子并标以3，表示在倒数第3步(即第2步)被取去的白子．最后放上标有4的黑子．这样，共41枚棋子．第一次取去标有4的黑子，第二、三、四次依次取去标有3、2、1的棋子，最后剩下一枚黑子0．在图中删去一个标有4的棋子，对剩下的40枚棋子，结论依然成立．2．用上面的方法可得下表：这里棋子总数St是能够经过n步后剩下1枚棋子的情况中棋子数的最大值．由于S7＝557＜1000，S8＝1393＞1000．所以至少8步才能使原有的1000枚棋子只剩下1枚棋子．用上面的

6、作法不难得出有1393枚棋子而经过8步最后只剩1枚黑子的图，将其中标有8的棋子(共408×2＝816枚)删去393枚，便得到1000枚棋子，经过8步最后只剩下1枚黑子．4.试证：1．如果正整数n使方程x3－3xy2+y3=n有一组整数解（x，y），那么这个方程至少有三组整数解；（2）当n=2891时，上述方程无整数解．【题说】第二十三届（1982年）国际数学奥林匹克题4．【证】1．因为（y－x）3（y－x）x2+（－x）3=x3－3xy2+y3所以在（x，y）为方程x3－xy2+y3=n的整数解时，（y

7、－x，－x）也是（1）的整数解．这时将y－x当作x，－x当作y，则由于（－x）－（y－x）=－y，－（y－x）=x－y，所以（－y，x－y）也是（1）的整数解．这三组解互不相同，因为任两组解相同将导出x=y=0，与n为正整数矛盾．2．如果x3－3xy2+y3=2891，那么x3－3xy2+y3≡2（mod9）                     （2）从而x、y不能都被3整除，如果x、y中恰有一个被3整除，用（y－x，－x）或（－y，x－y）代替（x，y）．因此可以假定x、y都不被3整除，从而x3≡

8、±1，y3≡±1，－3xy2≡±3（mod9）（2）不能成立，这表明当n=2891时，（1）无解．