加试模拟训题（42）.doc

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1、加试模拟训练题（42）1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点．2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论.（莫斯科数学竞赛试题）4、试确定使整除的全部正整数对加试模拟训练题（42）1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC

2、，又设D、E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点．【证】延长AP交BC边于K，交△ABC的外接圆于F，连结BF、CF．∠APC－∠ABC＝∠AKC＋∠PCK－∠ABC＝∠BAK＋∠PCK＝∠BCF＋∠PCK＝∠PCF同理∠APB－∠ACB＝∠PBF所以由已知∠PCF＝∠PBF有正弦定理所以即设∠ABP的角平分线BD交AP于M，则同样设CE与AP交于N，则由此，，所以M与N重合，即AP、BD、CE交于一点.2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n∈N，都有f(f(n))＝

3、kn．求证，对每一个n∈N都有【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1．【证】由于f严格递增且取整数值，所以f(n＋1)≥f(n)＋1从而对m≥n，有f(m)＝f(n＋m－n)≥f(n)＋m－n取m＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n故f(n)≥2kn/(k＋1)3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论.（莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A1A2…AnA1，则所有顶点的坐标（）符合并且为一固定的正整数），其中则由已知有①②③不妨

4、设中至少有一个为奇数（因为设是指数最小的，ti为奇数，用2m除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对都必一奇一偶，而由①知，Xi中为奇数的有偶数个（设为2u），余下的n－2u个为偶数（与之对应的Yi必为奇数），再由②知，这种奇数的Yi也应有偶数个（设为），故=偶数.综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.4、试确定使整除的全部正整数对解：（i）若则有：矛盾；（i

5、i）若则，或当时，题设成为整除得，或当时，由于知：无整数解；（iii）若则其中此时除以商恰为k，题设条件满足。综上：所有满足条件的正整数对为