加试模拟训题（23）.doc

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1、加试模拟训练题（23）1、已知分别是的边上的点，相交于点，证明和的内切圆外切的充分必要条件是四边形有内切圆。（99年保加利亚）2、求证：3、将99边形的边染色，使得相邻边的颜色依顺时针方向为红，蓝，红，蓝，…，红，蓝，黄．然后进行一系列的变换，每一次变换将一条边的颜色改变，变为红，蓝，黄中的一种并且相邻的边颜色不同．试问能否经过一系列的变换使得相邻边的颜色依次是红，蓝，红，蓝，…，红，黄，蓝？4、求所有的质数，满足.加试模拟训练题（23）1、已知分别是的边上的点，相交于点，证明和的内切圆外切的充分必要条件是四边形有

2、内切圆。（99年保加利亚）证明充分性：由和的内切圆外切，可得。作的内切圆，过作该圆的切线，交于。由于，因此有，即。必要性：设和的内切圆与分别切于点，因为，所以有。2、求证：3、将99边形的边染色，使得相邻边的颜色依顺时针方向为红，蓝，红，蓝，…，红，蓝，黄．然后进行一系列的变换，每一次变换将一条边的颜色改变，变为红，蓝，黄中的一种并且相邻的边颜色不同．试问能否经过一系列的变换使得相邻边的颜色依次是红，蓝，红，蓝，…，红，黄，蓝？【题说】第二十三届(1994年)美国数学奥林匹克题2．【解】对每一种染色法，给这个多边形

3、的每个顶点打分：如果按照顺时针方向过这点的两条相邻的边染色为(红，蓝)，(蓝，黄)或(黄，红)，这点就打＋1分，否则打－1分．各顶点分数之和称为多边形的总分．不难算出(红，蓝，红，蓝，…，红，蓝，黄)的总分是＋3；(红，蓝，红，蓝，…，红，黄，蓝)的总分是－3．在每一次变换中，改变颜色的边的两条邻边一定是颜色相同的，因此，这条边的一个顶点分由＋1变为－1，另一个顶点分由－1变为＋1．所以每一次变换保持总分不变．因而不可能由(红，蓝，红，蓝，…，红，蓝，黄)经过一系列变换，变为(红，蓝，红，蓝，…，红，黄，蓝)．4、

4、求所有的质数，满足.分析：等式两边形式差别很大，但两边取模可以去掉某些项，从而达到化简的目的.解：等式两边取模，得，由Fermat小定理知.所以，即.等式两边取模得，又由Fermat小定理知，则有.如果>19，因为有，即，而，所以必有，显然无质数解.所以，因此的可能值只能为2，3，5，7，11，13，17，19，经检验只有满足条件.