加试模拟训题（20）.doc

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1、加试模拟训练题（20）1、设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。2、已知，求证：3、一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了．4、求所有的素数，使与也是素数。加试模拟训练题（20）1、设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线

2、，证明这两条直线互相垂直。（6届全苏）证明设的重心分别为，则四边形是平行四边形，并满足分别平行于，，从而有。设的垂心分别为，则均三点共线，且四边形是平行四边形，并满足分别垂直于。设，不妨假设，则，所以有，即。同理，于是有。因此平行四边形与相似，若把其中的一个平行四边形旋转，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有。2、已知，求证：3、一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要

3、一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了．【证】设在某次调整前糖最多的人有2m块，最少的有2n块，m＞n，那末可以看出：(1)调整后每人的糖的块数仍然在2n与2m之间．因为若某孩子原有2k块，在他左边的有2h块，n≤k≤m，n≤h≤m．那么调整后这孩子所得的块数k＋h满足2n≤k＋h≤2m．只有当k＋h是奇数时(这时k＋h＜2m)，可补要一块，仍不超过2m块．(2)原来拿糖超过2n块的，调整后仍超过2n块，因为由k＞n，h＞n，得k＋h＞2n．(3)至少有一个原来糖为2n块的孩子调

4、整后糖至少增加一块．因为至少有一个拿2n块的孩子左邻拿着2k＞2n块，调整后这个孩子至少要拿n＋k＞2n块．由于每调整一次，拿2n块的孩子至少少了一个，所以若干次后，每个孩子的糖的块数都大于2n，又由于每人的糖的块数始终≤2m，所以若干次调整后，糖块最多与最少的差至少减少1．因此，有限次调整后，各人的糖的块数就会变成相同了．4、求所有的素数，使与也是素数。解：设，，且若或4时，，；若或3时，，；即时，为5的倍数且比5大，不为质数。故，此时，；都是素数。即可题有唯一解。