含分布时滞的变系数退化微分系统解的稳定性-论文.pdf

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1、第32卷第4期佳木斯大学学报(自然科学版)Vo1．32No．42014年07月JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)July2014文章编号：1008—1402(2014)04—0610—04含分布时滞的变系数退化微分系统解的稳定性①吴禧，周宗福’(安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601)摘要：利用Razumikhin定理讨论一类含有分布时滞的变系数退化时滞微分系统解的稳定性，建立了零解稳定性的判定定理．关键词：分布时滞；退化时滞微分方程；稳定性；Razumikhin定理中图分类号：0175文献标识码：A0引言一Q()E(t)

2、P()=[A】在微分方程相关研究中，稳定性研究是其重要其中，。，，2分别为，l及n—n。阶单位矩阵，A(t)∈的研究分支．关于退化系统稳定性的研究已受到越R。，nl与t无关．来越多的学者的重视，退化时滞微分系统的稳定性对系统(1)作变换(t)=P(t)y(t)，(t∈[一研究有了很大发展，文献[1]中主要讨论了常系数丁，+∞))，当t∈[一2，O]时，定义P(t)=P(O)，退化时滞微分系统稳定性问题，文献[2]中研究了同时系统两边左乘Q(t)，那么系统(1)可变为：变系数退化微分系统稳定性问题；可是到目前为rYl(t)=Al(t)y1(￡)+ll(t)y1(t—)止，对于含有分布时滞的变

3、系数退化时滞微分系统lI—稳定性研究却极少．本文主要研究了一类含有分布l+12(t)y2(t一)+Q1()Jf‘D(t，s)一f时滞的变系数退化时滞系统的稳定性：{P(s—r)y(s—)dsE(t)(t)=A(t)(t)+(t)x(t一)10=Y2(￡)+B21(t)yl(一)+B22(t)y2(t一下)，II【一+JD(t，s)(s一下)ds(1)—f+Q2(t)I．D(t，s)P(s—T)yO一．r)ds系统的初始条件为(2)=EC([一2，0]，R)其中其中，E(t)，A(t)，B()∈C([0，+∞)，尺)，D(t，s)∈C([0，+∞)×[r一，+∞)，R“)，(‘)㈤】ER，t

4、。≥0，

5、r>0为常数，矩阵对[E(￡)，A(￡)]全局指标为1．我们利用Razumikhin定理，建立系统=零解稳定性的判别准则．Qct，ctPct一丁，【塞；】=Qct，1预备知识系统(2)的初始条件变为：Y10=l，l(0)=Y(to+0)=P(to+o)x(+0)对于系统(1)，由于我们由前面知矩阵对=P一(to+)()，一2z≤0≤0[E(t)，A(t)]全局指标为1，根据文献[3]可知，为了研究系统(1)的稳定性先研究系统(2)的稳定存在，P(t)∈c[o，+∞)，Q(t)EC’[0，+ao)，且P(t)，Q(I)均可逆，使得：性，下面我们引人退化时滞微分系统的稳定性概念考虑退

6、化时滞我分方程：Q(t)(t)P(t)=【三]，Q(t)A(t)P(t)(￡)=￡，xt)(3)①收稿日期：2014一o5一o8基金项目：国家自然科学基金(11071001)；安徽省自然科学基金(1208085MA13)．作者简介：吴禧(1987一)，男，安徽合肥人，硕士研究生，从事泛函微分方程的研究，通讯作者：周宗福(1964一)。男，教授，从事泛函微分方程的研究．第4期吴禧，等：含分布时滞的变系数退化微分系统解的稳定性6ll其中E为nxn退化常数矩阵，t≥t。≥0，(t)E(3)Pl，P2>0，使I1D1(，s)Il≤Pl，R”，(0)=(+0)，(0E[一r,0])，r>Of(t，I

7、)：0D2(￡，5)lI≤P2，t≥0，s≥一[0，+∞)xDR且连续，D是C([一r，0)，R“)(4)Ar(t)+A(t)+[2llB(t)ll中的一开集￡，0)=0，方程的初始条件为：+2IIB12(训I(+1)+2P。=，Ec([一，I，0]，R)(4)在给出稳定性定义前先引人记号：=[0，+2P：．r(畿+1)ot)，0

8、体，B(0，)=稳定的；进一步系统(2)的零解关于{Y，[0，+oo)}也是一致稳定的．{EC[一r,0]，R)；Ill<占}，其中6<0．若=(1，2，⋯，)贝0定义llIl=(++⋯+(日1)证明：令g(t，Y)=Y[Yl，V(t，)=，(‘，)∈R，1(s)=s，2(s)=s，s[O，+∞)．显然引)享，V∈c([一r,0]，R)，定义IIlI=理1中的条件(1)满足．下面验证引理I中的条件ma．x((0)+；()