一道高考题的研究与拓展.pdf

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1、中掌生数理亿．掌饼版原题(2012年高考数学江苏卷14题)已知正数n，b，C类型I．约束条件为线性，目标函数为非线性满足：5C-3口≤6≤4一n，ln6≥+flnc，则的取值范围例1已知函数，(z)一÷z。+÷n。+2bx+f在是．(O，1)内取极大值，在(1，2)内取极小值，求(n+3)+b的——解题思路与方法的探讨：该题所给条件让人产生一种似取值范围．曾相识的感觉，即与线性规划形式上比较相近，但不同之处有点评：本题的约束条件不是直接给出，而是在利用导数与两点．一是条件中的不等关系存在多于两个变量，二是存在着单调性、极值的关系后得到的．关于目标函数的非线性类型常

2、非线性关系，而如果能通过合理使用等价转化，数形结合等思见有以下两种：想方法解决好这两个关键要点，这个问题即能顺利解决．(1)距离型(两点距离和点线距离)；3+≥5，(2)斜率型，如一(即求过定点(1，2)与可行域中动lCC点(n，b)连线的斜率的取值范围)．解法1：题中条件可转化为：I+≤4，l‘类型Ⅱ．约束条件为非线性，目标函数为线性l≥。，例2已知n，b都是不为零的常数且n>0，变量满足不等式组：asin0+bcos0~0’试求sin的最大值．令：，一．CC点评：本题看似无从下手，但通过换元方法，即可化为非f3z+y≥5线性条件下的线性目标函数问题，同时对参数

3、b进行分类讨已知条件化为lI≤4’求的范围即求的范围．论也是解决本题的关键．y≥e，．27类型Ⅲ．约束条件和目标函数均为非线性>0，>作出(z，)所在平面区域如图1所例3已知实数z、满足不等式组{xZ≥+。y，≤’求函数示，求出Y=e的图像过原点的切线为—ex，切点为(1，e)，判断切点在顶点ABz一—的值域．之间，c点坐标为(1，7)，故可求出二的点评：将非线性目标函数一转化为非线性区域中．Td范围re，7]．的动点(z，y)和(一1，一3)连线斜率的取值范围是本题的解解法2：(运用不等式性质及函数导题关键，当然在寻求的最小值时也可利用圆心到直线的距数性质)令二

4、一，一，离等于半径这一几何性质求解，但要注意解的去舍问题．““图1类型Ⅳ．仅涉及非线性区的问题由已知可得5x一3≤Y≤4x一1，例4(2011年高考数学江苏卷14题)设集合A一lY≥zei．故5x一3≤4x一1得z≤2，则Y≤4x一1≤4×2—1—7．{(z，)I≤(x-2)z+y2≤m。，z，∈R}，B一取z一2，Y一7满足条件．{(-z，)l2m≤z+≤2m+1，z，Y∈R}，若AnB≠，则实由法1可知，z一1时f(x)一xe-fi取得最小值．数m的取值范围是．点评：注意到区域B无论是哪条直线与区域A外边界圆即≥ze{≥e，取一1，Y—e满足条件．相交或相切，

5、均符合题意，从而避免了对m的讨论．^所以一的取值范围为[e，7]．不难看出，非线性规划问题的解决仍然立足于线性规划“的解题思想，数形结合、化归与转化思想，综合了三角函数，函注：事实上，线性规划及以线性规划的思想方法为基础的数导数，函数性质研究等多个方面，体现了知识交汇处命题的向非线性扩展问题在近几年的高考中备受青睐，纵观全国各理念．因此，我们应该予以足够的重视．类模拟和高考试题，笔者总结以下几种类型．作者单位：江苏省丹阳市第五中学①本论文为江苏省教育科学‘‘十二五”规划重点资助课题《基于问题生成的动态课堂的实践研究》(课题编号B—a／2o11／o2／oo5／)的研

6、究成果之一