3、=(3t-1)a-2t,于是,若过点(a,b)可作曲线y-x0+x0=(3x0-1)(x-x0)(1)3233y=f(x)的三条切线,则方程2t-3at+a+b=0#将(0,0)代入(1)得-x0+x0=-3x0+x0解(*)有三个相异的实数根.得x0=0故过点(0,0)的切线方程为y=-x;32232记g(t)=2t-3at+a+b,则g(t)=6t-∃同样将(1,0)代入(1)得-x0+x0=(3x0-326at=6t(t-a)1)(1-x0),整理得,2x0-3x0+1=0,解得x0=当t变化时,g(t),g(t)
4、变化情况如下表:11,或x0=-.故过点(1,0)的切线方程为y-02t(-¥,0)0(0,a)a(a,+¥)311g(t)+0-0+=2(x-1)或y-=-x+.842g(t)递增极大值a+b递减极小值b-f(a)递增很快生2提出问题(二):由(一)知!过∀点由g(t)的单调性,有M(t,f(t))的切线可能有一条,也可能有两条,那当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,么对任意的三次曲线是否有类似的结论,相应的方程g(t)=0有一个实数根;结论的条件是什么?32当极大值a+b=0时,解方程g(t)=0得t=结
5、论1设f(x)=ax+bx+cx+d(a%0)3ab0,t=,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;过M(t,f(t))的切线条数:如果t=-,那么过23a当极小值b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得点M有且只有一条切线,否则有两条切线.a探究因为以M点为切点作曲线的切线一t=-,t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的2定存在,下面探究切点不是点M的情况,假设点实数根;Q(x1,y1),(x1%t)是切点,因为点Q在曲线上,当极大值a+b>0且极小值b-f(a)<0时32所以y1=ax1+bx1+cx1+d,又
6、因为点Q在切线方程g(t)=0有三个相异的实数根.y1-f(t)综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切上,所以切线的斜率k=x1-t=a+b>0,a(x33221-t)+b(x1-t)+c(x1-t)2线,则=a(t+x1t+b-f(a)<0.x1-t38数学通报2010年第49卷第2期2x1)+b(x1+t)+c.不同的根,函数g(t)的极大值必须大于零,同时又根据导数的几何意义可知k=f(x1)=极小值必须小于0,即有下面两种情况:23ax1+2bx1+c,所以#若a<0,则t=0时函数g
7、(t)取极小值,t=222a(t+x1t+x1)+b(x1+t)+c=3ax1+2bx1a时取极大值所以有+c,化简整理得g(0)=a+b<0b<-a223,即3;2ax1+(b-at)x1-(at+bt)=0.g(a)=-a+a+b>0b>a-a此方程是关于x1的一元二次方程,其判别式∃若a>0,则t=0时函数g(t)取极大值,t=2ba时取极小值,所以有=(3at+b)0.如果t=-,=0,方程有唯3ag(0)=a+b>0b>-a,即.bg(a)=-a3+a+b<0b8、%t,所以3a综上,存在3条切线的点所在的区域为b过点M有且只有一条切线.如果t%-,>0x<0x>03a区域(&)y<-x或区域()y>-xat+b方程有两相异的解x1=t或x1=-但由前332ay>x-xy
