由一道高考题引起的研究性学习.pdf

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1、2013年第11期ZHONGGUOSHUXUEJIAOYU由一道高考题引起的研究性学习崔志荣（江苏省东台市安丰中学）朱干江（江苏省盐城市第一中学）摘要：以一道高考题为素材，通过拓展、引申，开展一堂师：老师对这道高考题有一个疑问，想与同学们一起来思讨论斐契数列通项公式的研究性学习课，通过教学实录展现师考解决，由a+b=1与a2+b2=3是不是可以求出a与b的值，生的研究性学习进程，取得了较好的教学效果.按照生1发现的规律，数列｛Cn｝应是唯一确定的，那么这里求出关键词：研究性学习；高考题；斐波那契数列的a与b的值是否总能满足数列｛Cn｝中的任何一项？哪位同学能检验或证明

2、？一、问题起源（停顿，但没有学生回答）.题目（2012年江西卷·理6）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=师：那就请大家先求出a与b的值再说吧.3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）.展示生3的运算：（A）28（B）76（C）123（D）199a+b=1，这道高考题侧重考查学生的数学归纳能力，要求考生能够由a2+b2=3，得ab=-1.归纳出：从第3项起，每一项都等于与它相邻的前2项之和2所以a，b是方程x-x-1=0的两根.（即an+2=an+1+a），其背景是斐波那契数列：n1，1，2，3，5，8，1±姨513，21，

3、….解得x1，2=2，为此，笔者做了一些延续性思考，由a+b=1且a2+b2=3由于a，b具有对称性，不妨设a>b，可求出a与b的值，记C=an+bn，从而就可求出数列｛C｝的通nn1+姨51-姨5则a=，b=.项公式了.可以看出，这道考题的命题者还为考场外的师生提供22了研究斐波那契数列（或类似于斐波那契数列的数列）通项公师：从生的解答可得到C=1+姨5n+1-姨5n，3n姨姨姨姨式的一种思路.因此，笔者从这道高考题出发，开展了一节讨论22斐波那契数列通项公式的研究性学习课，现将这节活动课的教而命题者给出的数据是否对应于我们求出的通项公式呢？请大学实践整理成文，请读

4、者批评指正.家按前后两桌4人一组进行讨论，看看哪一组能够提出解决这二、教学实录一问题的方案？1．挖掘内涵生4：命题者实际上是给定了C1与C2，从第3项起总满足师：同学们，今天我们将开展一节研究性学习课，先请大Cn+2=Cn+1+Cn，而我们求出的通项公式已满足C1与C2，故只需家来研究一道有趣的高考题（投影展示2012年江西省高考数学证明Cn+2=Cn+1+Cn即可.理科卷第6题），哪位同学先来谈一谈它的解法？师：是的，我们是根据前2项求出的通项公式Cn，如能证生1：把条件中各式的值依次排列，可得数列｛Cn｝，容易发明Cn+2=Cn+1+Cn，那就说明命题者提供的数值

5、对应于数列｛Cn｝现其中的规律：从第2项起，每一项都等于与它相邻的前2项的通项公式为C=姨1+姨5姨n+姨1-姨5姨n，大家能证明吗？之和，问题就是求数列｛Cn｝的第10项.n22师：生1把高考题转化为数列问题，归纳出其特点，很好！展示生的证明：由C=1+姨5n+1-姨5n，那么就请大家迅速得出结论.5n姨姨姨姨22展示生2的解答：C6=C4+C5=18，C7=C5+C6=29，C8=C6+1+姨5n+11+姨5n1-姨5n+1所以Cn+1+Cn=姨姨+姨姨+姨姨+C7=47，C9=C7+C8=76，C10=C8+C9=123.222收稿日期：2013-05-24作者

6、简介：崔志荣（1978-），男，江苏东台人，中学一级教师，主要从事中学数学教育研究.34JIAOXUEPINDAO教学频道姨1-姨5姨n=姨1+姨5姨n·3+姨5+姨1-姨5姨n·姨1+姨5姨n姨1+姨5+1姨=姨1+姨5姨n·3+姨5=222222223-姨5=1+姨5n+2+1-姨5n+2=C.姨1+姨5姨n+2与姨1-姨5姨n姨1-姨5+1姨=姨1-姨5姨n·姨姨姨姨n+22222222师：同学们，到此我们已得到高考题中数列的通项公式.3-姨51-姨5n+2=姨姨.（板书）数列｛Cn｝满足C1=1，C2=3，且Cn+2=Cn+1+Cn，则Cn=221+姨5n1-

7、姨5n师：这一巧合正好满足Cn+2=Cn+Cn+1，而斐波那契数列需姨姨+姨姨.这道高考题相当于给我们提供了求22要满足的也是Fn+Fn+1=Fn+2，那么斐波那契数列｛Fn｝的通项公数列｛Cn｝的一个思路.再给大家2分钟，对上述处理过程回顾、式应具备什么形式呢？理解一下，然后我们要接着再思考新的问题.（停顿后还是没有学生回答）.2．模型解读师：那好，老师再举一例，同学们思考，数列｛an｝的通项公师：下面再请大家看一个有趣的故事.1+姨5n1-姨5n式an=姨姨-姨姨是否满足an+an+1=an+2？（投影展示材料）假设一对刚出生的小兔一个月.后能长