由一道高考题的不同解题思路引起的思.doc

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1、由一道高考题的不同解题思路引起的思考湖北房县第二中学任传奎山东省2009年高考理科第10题：定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2009)的值为（）A、－1B、0C、1D、2思路1：f(2009)=f(2008)-f(2007)=f(2007)-f(2006)-f(2007)=-f(2006)=f(2003)=…=f(5)=f(-1)=1思路2:f(2009)=f(2008)-f(2007)=f(2007)-f(2006)-f(2007)=-f(2006)=f(2003)=…=f(5)=-f(2)=-

2、[f(1)-f(0)]=-[f(0)-f(-1)-f(0)]=f(-1)=1以上两种思路从表面上看都没有问题，因为结果相同，但事实上，从解题过程上看，思路1中f(5)=f(-1)是用“周期”“越界”导入到f(－１)的，思路2的推理过程是借用“周期”不“越界”导入到ｘ∈（０，６）再用ｆ(x)=f(x－1)－f(x－2)导入到f(-1)求解的。再如：在本题条件下求f(2011)的值思路1：f(2011)=f(1)=f(-5)=思路2：f(2011)=f(1)=f(0)-f(-1)=-1以上两种思路很显然思路2是正确

3、的。而学生在求解本题时采用思路1的占多数，问题出现在哪呢？事实上我们推出f(x)=f(x－6)是在条件x≥6的前提下才成立的，而且f(x)=f(x－6)与f(x)=－f(x－3)是不等价的（这里x≥3），这里的思路1所犯的错误是把本题的函数看做是R上的周期函数，事实上，本题可以看作是x＞0上的“周期”函数，注意f(x)=f(x－6)成立的条件是x≥6或f(x)=－f(x－3)成立的条件是x≥3，那么若对于任意的＞0,在本题的前提下应如何求解呢？一般的，若，x∈[0，6）,ｍ∈N,则f()=f(x)当ｘ＝０时,f

4、(x)=f(0)当x∈(0,1]时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)当x∈(1,2]时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)=f(x-2)-f(x-3)-f(x-2)=-f(x-3)当x∈(2,3]时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)=f(x-2)-f(x-3)-f(x-2)=-f(x-3)当x∈(3,4]时，f(x)=-f(x-3)=-[f(x-4)-f(x-5)]当x∈(4,5]时,f(x)=-f(x-3)=-[f(x-4)-f(x-5)]=-[f(x-5)-f(x-6)-f(x-5)]=f(x-6

5、)当x∈(5,6)时，f(x)=-f(x-3)=-[f(x-4)-f(x-5)]=-[f(x-5)-f(x-6)-f(x-5)]=f(x-6)综上所述：当ｘ＝０时,f(x)=f(0)当x∈[0,1]时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)当x∈(1,3]时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)=f(x-2)-f(x-3)-f(x-2)=-f(x-3)当x∈(3,4]时，f(x)=-f(x-3)=-[f(x-4)-f(x-5)]当x∈(4,6)时,f(x)=-f(x-3)=-[f(x-4)-f(x-5)]=-[f

6、(x-5)-f(x-6)-f(x-5)]=f(x-6)从以上情况看,做本题时不能用“周期”“越界”导入到x＜0进行运算,而是借用“周期”导入到x∈(0,6)后再用f(x)=f(x-1)-f(x-2)进行推理求解。解题后反思：同学们出现错误的原因是周期的概念不清造成的，特别是同学们在学习、复习概念时只注重表面意义，没有对概念的内涵和外延作研究，更没有对概念进行正、反两面进行辨析，导致概念模糊不清，很多错误皆出于此。高考中常常对数学概念进行考察，所以教师在高考复习中要有意识的搜集概念题引导学生对概念进行理解和辨析，

7、对有关结论的使用条件进行强调。2010年10月10日