一道类比习题的拓展研究

《一道类比习题的拓展研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、一道类比习题的拓展研究上海市南洋模范中学程玲数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周闱找找，很可能附近就有好儿个由此看岀，在数学教学屮，若教师能有意识地引导学生研究一些典型问题，拓展典型问题的研究思路和方向，对学生的能力的提高将有着不可估量的作用。以下题为例做如下探究。一、证明方法的多样性原题：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.猜想:在四面体P—DEF中，ZPDE=乙PDF=ZEDF=90°.设§,S2,和S分别表示'

2、PDF,PDE,EDF和NPEF的面积，相应于图屮直角三角形的两条直角边d,b和一条斜边c,于是有如下猜想：52=S：+S22+S32,后同学给出如下证明.有以下儿种证明方法：证法一：如图（一）所示：过点D作DG丄EF垂足为G,连接PG.因为ZPDE=ZPDF=ZEDF=90°，所以PD丄面DEF,所以PD丄DG,PD丄EF,又由DG丄EF,所以EF丄面PDG.所以PG丄EF,所以S二丄

3、EF

4、

5、PG

6、.设PD=a,DE=b,DF=c.EF=^b2+c2,根据三角形DEF面积为一定值，得：DG\

7、EF=DE\DF,DG9??PG~=PZT+DG「2h2c2=a+F77a2h2+a2c2+h2c2・・・T2EF~PG2_a2b2+a2c2+b2c24sj+s；+s；.图二证后分析：这种证法是利用立体几何学的常规思路，即将空间图形转换为平面图形，三维空间向二维空间的转换.通过证明垂直关系找到平面中的底和高，并且在证明过程中不断使用了平而勾股定理,要引导学生观察和发现其屮的垂直和长度关系.证法二：首先给出平面勾股定理的证明方法：如图（二）在直角三角形ABC中，AD丄BC垂足为・・・AABCsA

8、DB4,所以得到射影定理：

9、ABf=0C

10、…(1),同理可得：

11、AC

12、2=

13、CD

14、

15、BC

16、---(2),(1)+(2)得:

17、A8f+

18、AC『=0C

19、2类比上面的证明方法得：首先证明四面体中的射影定理.（如图三）在四面体P—DEF中,ZPDE=ZPDF=ZEDF=90°.做点D在面PEF上的摄影为点H,下证明：空间四面体的射影定理，则S；=S、phfS.证明如下:连接EH并延长交PF于点M连接DM,・・・ZPDE=ZPDF=ZEDF=90°,:.ED丄面PDF,・•・ED丄PF,又因为DH丄面PEF,・・

20、・PF丄DH,/.PF丄面EDW,:.EM丄PF,DM丄PF..-.S=^PF[EMtS^hf=^HM[PF,S}=^PF\DM又因为劭丄面PDF,/.ED丄DW,:.DH丄EM,・・・S；=S“府・S,同理可得：S；=S、phe•S,Sf二S、ehf•S,所以将上述三式相加即可得证.证法分析:这种证明方法不仅仅反映了证法一中的基本的立体几何解决方法，还体现了数学的类比功能不仅仅可以类比结论，还应让学生通过这道题目理解类比的思想在证明的过程和方法上也是有的.证法三:采用三角形而积公式：S

21、二丄

22、PE

23、•

24、PF卜sinZEPF.£[(/+，)(/+c2)_/a2b2+a2c2+/?2c2根据题设可知:PE2=a2+b2tPF2=a2+cEF2=b2+c2.cosZ.EPF=PEf+PFf-EF2PE\PF17OrS2=-PE~-PF'sin2ZEPF4显然结论成立.证法分析:这种证明方法类似于空间向量和坐标法的解决办法.证法四:类比上面的办法利用海伦公式.二、同类问题的类比联想条件直角三角形ABC,AB丄AC,AD丄BC在四面体P-DEF中，ZPDE=ZPDF=ZEDF=90°

25、.设和S分别表示APDF,APDE,EDF和PEF的面积，点H为顶点D在面PEF上的射影.二面角D-PF-E,D—PE—F,D-EF-P分别为图形LBA结论1ab2=bddcSj=SZHF•S结论2BC2AB2?「+ACS2=512+522+S32结论3AB=BCcosB§=Scosa结论4BC—ABcosB+ACcosCS=S]cosa+S2cos/?+cos/结论5cos2B+cos2C=1cos2a+cos20+cos2y=1结论61_AD2~114-1111—十十AB2AC2DH2~DE2'

26、DF2'DP2以上问题证明略。通过上面的研究我们可以发现如果我们能够引导学生做如上探究我想学生对于类比推理将有着更深刻的体会，遇到类似的问题一定会得心应手。正如孙维刚老师说的数学的学习应该是八方联系，浑然一体的！